Correction des exercices du livre La Gestion des Risques Financiers

On considère de nouveau l’intégration par partie avec u (t) = t −3 et v ′ (t) = ϕ (t) et on obtient :1 − Φ (x) = ϕ (x)x= ϕ (x)x+ [ ϕ (t)t 3− ϕ (x)x 3] ∞x−∫ ∞−x∫ ∞x− 3 ϕ (t) dtt4 3t 5 ϕ′ (t) dtOn peut continuer à intégrer par partie de façon récursive en posant v ′ (t) = ϕ (t). On obtientfinalement l’expansion suivante :1 − Φ (x) = ϕ (x)x− ϕ (x)x 3 + 3 ϕ (x)x 5 − 3 · 5 ϕ (x)x 7 + 3 · 5 · 7 ϕ (x)x 9 − . . .(= ϕ (x)x + 1 ∑∞ n)∏x 2 (−1) n ϕ (x)(2i − 1)x 2n−1d’où on en déduit que := ϕ (x)xn=1+ Ψ (x)x 2ϕ (x) = x (1 − Φ (x)) − Ψ (x)xOn reprend l’expression de ES (α) et on pose x = Φ −1 (α) :σES (α) = µ +(1 − α) ϕ ( Φ −1 (α) )σ= µ +(1 − α) ϕ (x)σ= µ +(Φ −1 (α) (1 − α) − Ψ ( Φ −1 (α) ) )(1 − α)Φ −1 (α)= µ + σΦ −1 (α) − σ Ψ ( Φ −1 (α) )(1 − α) Φ −1 (α)= VaR (α) − σ Ψ ( Φ −1 (α) )(1 − α) Φ −1 (α)On en déduit que ES (α) → VaR (α) lorsque α → 1 car :Ψ ( Φ −1 (α) )limα→1 (1 − α) Φ −1 (α) = 0(e) Pour la distribution gaussienne, l’expected shortfall et la valeur en risque coincident pour desniveaux élevés de probabilité, ce qui n’est pas le cas de la distribution de Pareto, qui présenteune queue épaisse. L’utilisation de la distribution de Pareto peut donc produire des mesuresde risque beaucoup plus élevées que celles basées sur la distribution gaussienne.2. On a (TR-GDR, page 29) :On remarque que :R (L 1 + L 2 ) = E [L 1 + L 2 ] = E [L 1 ] + E [L 2 ] = R (L 1 ) + R (L 2 )R (λL) = E [λL] = λE [L] = λR (L)i=1R (L + m) = E [L − m] = E [L] − m = R (L) − mE [L] =∫ ∞−∞x dF (x) =∫ 10F −1 (t) dtOn en déduit que si F 1 (x) ≥ F 2 (x), alors F −11 (t) ≤ F −12 (t) et E [L 1 ] ≤ E [L 2 ]. R est donc unemesure de risque cohérente.11