Correction des exercices du livre La Gestion des Risques Financiers

On note EAD l’exposition au défaut 10 . Comme on a :( Φ −1 (PD) − √ )ρXL = n × EAD ×E [LGD] × Φ √ 1 − ρon en déduit que :ES (α) = E [ L | L ≥ F −1 (α) ][( Φ −1 (PD) − √ )∣ ]ρX ∣∣∣= E n × EAD ×E [LGD] × Φ √ X ≤ Φ −1 (1 − α)1 − ρ[ ( Φ −1 (PD) − √ )∣ ]ρX ∣∣∣= n × EAD ×E [LGD] × E Φ √ X ≤ Φ −1 (1 − α)1 − ρ∫ Φ −1 (1−α)( Φ −1 (PD)= n × EAD ×E [LGD] ×Φ √ + −√ )ρ ϕ (x)√ x−∞1 − ρ 1 − ρ Φ (Φ −1 (1 − α)) dx= n × EAD ×E [LGD] × (1 − α) −1 (× Φ 2 Φ −1 (1 − α) , Φ −1 (PD) ; √ ρ )= n × EAD ×E [LGD] × (1 − α) −1 × C (1 − α, PD; √ ρ)avec C la copule gaussienne. L’expected shortfall est donc de la forme :ES (α) = n × EAD ×E [LGD] × (1 − α) −1 × Pavec P la probabilité correspondant au quadrant inférieur [0, 1 − α]×[0, PD] de la copule gaussiennede paramètre √ ρ. On note aussi que l’on retrouve le paramètre √ ρ des modèles Raroc (TR-GDR,page 524). On vérifie que l’on a pour ρ = 0 :ES (α) = n × EAD ×E [LGD] × (1 − α) −1 × (1 − α) × PD= n × EAD ×E [LGD] × PD= VaR (α)En fait, le rapport κ entre l’expected shortfall et la VaR est égale à :ES (α)κ =VaR (α) = (1 − α)−1 × C ( 1 − α, PD; √ ρ )Φ(Φ −1 (PD)+ √ )ρΦ −1 (α)√ 1−ρOn peut montrer que ce rapport κ est une fonction croissante de ρ et une fonction décroissante dePD. À titre d’illustration, on reporte sur le graphique 6 les valeurs de ES (α) et VaR (α) lorsquen = 1000, EAD = 1, E [LGD] = 50% et α = 99%.3.3 Dérivés de crédit et corrélation de défaut1. On a :JF = 1 × 2% × 1 000 0004= 5 000 eurosAu moment du défaut, la jambe de protection est égale à :JV = (1 − 60%) × 1 000 000= 400 000 eurosOn en déduit le diagramme des flux suivant (TR-GDR, page 411) :10. On a :x 1 = . . . = x n = EAD53