Correction des exercices du livre La Gestion des Risques Financiers

2 De nouveaux exercices2.1 Calculs statistiquesSoit L la variable aléatoire représentant la perte d’un portefeuille. On note f et F les fonctions dedensité et de répartition associées.1. Exprimez F (x) à partir de f.2. Donnez la définition de F −1 (α).3. Calculez le quantile x = F −1 (α) lorsque L ∼ N (µ, σ).4. Même question si L ∼ LN (µ, σ).5. Même question si L ∼ E (λ).6. Calculez F −1 (95%) et F −1 (99%) dans le cas de la distribution discrète suivante :2.2 Contribution en risquex 0 −5 6 3 8 10Pr {L = x} 10% 50% 23% 7% 6% 4%Nous notons L la perte d’un portefeuille de n créances, et x i l’exposition au défaut de la i-ièmecréance. Nous avons :n∑L = x ⊤ e = x i × e iavec e i la perte unitaire de la i-ième créance. Nous notons F la fonction de distribution de L.1. On suppose que e = (e 1 , . . . , e n ) ∼ N (0, Σ). Calculez la valeur en risque au seuil de confiance α.i=12. En déduire la valeur en risque marginale de la i-ième créance. Définissez alors la contribution enrisque de la i-ième créance.3. Vérifiez que la valeur en risque marginale est égale à :Interprétez ce résultat.∂ VaR∂ x i= E [ e i | L = F −1 (α) ]4. On se place dans le modèle de risque de crédit Bâle II. On a :e i = LGD i ×D iavec D i = 1 {τ i < M i } l’indicatrice de défaut et M i la maturité de la i-ième créance. Quelles sontles conditions à vérifier pour obtenir le résultat suivant :E [ e i | L = F −1 (α) ] = E [LGD i ] × E [ D i | L = F −1 (α) ]5. On suppose que le défaut intervient avant la maturité M i si une variable latente Z i passe en dessousd’une certaine barrière B i :τ i ≤ M i ⇔ Z i ≤ B iOn modélise Z i = √ ρX + √ 1 − ρε i avec Z i , X et ε i trois variables aléatoires gaussiennes centréesréduites et indépendantes. X est le facteur (ou le risque systémique) et ε i est le risque individuel.Calculez la probabilité de défaut conditionnelle.6. Montrez que, dans le modèle Bâle II, nous avons :E [ e i | L = F −1 (α) ] = E [LGD i ] × E [ D i | X = Φ −1 (1 − α) ]7. Déduisez-en l’expression de la contribution en risque de la i-ième créance dans le modèle Bâle II.46