Correction des exercices du livre La Gestion des Risques Financiers

(b) La valeur du sous-jacent a augmenté ainsi que la volatilité implicite. La probabilité d’exercerl’option augmente donc puisque ∆ t > 0 et υ t > 0, ce qui implique que :C (S t+2 , Σ t+2 ) ≥ C (S t+1 , Σ t+1 )On en déduit que :On a :PnL ≤ 0PnL ≃ −∆ t+1 × (S t+2 − S t+1 ) − 1 2 × Γ t+1 × (S t+2 − S t+1 ) 2 − υ t+1 × (Σ t+2 − Σ t+1 )On obtient le résultat numérique suivant :PnL ≃ −0,43 × (100 − 97) − 1 2 × 0,02 × (100 − 97)2 − 0,38 × (22 − 20)= −1,29 − 0,09 − 0,76= −2,14En utilisant les sensibilités, on n’explique que seulement 90% du PnL.(c) On voit que si la volatilité est constante, on arrive à bien expliquer le PnL par les sensibilités.Ce n’est plus le cas lorsque la volatilité bouge. Il y a manifestement un risque de modèleconcernant la modélisation de la volatilité. Le pricer utilise sûrement une mauvaise dynamiquepour appréhender la volatilité et sous-estime le véga de l’option (TR-GDR, pages 103-113).3.6 Calcul des bornes de corrélation1. On a (TR-GDR, page 269) :C − (u 1 , u 2 ) = max (u 1 + u 2 − 1, 0)C ⊥ (u 1 , u 2 ) = u 1 u 2C + (u 1 , u 2 ) = min (u 1 , u 2 )2. C’est la copule associée à la distribution bivariée gaussienne Φ 2 (x 1 , x 2 ; ρ) (TR-GDR, page 296) :∫ ()u1Φ −1 (u 2 ) − ρΦ −1 (u)C (u 1 , u 2 ; ρ) = Φ √ du1 − ρ23. Soient 2 variables aléatoires X 1 et X 2 . On a (TR-GDR, page 274) :0(i) C ⟨X1 ,X 2 ⟩ = C − si et seulement si il existe une fonction f décroissante telle que X 2 = f (X 1 ) ;(ii) C ⟨X1,X 2⟩ = C ⊥ si et seulement si il X 1 et X 2 sont indépendantes ;(iii) C ⟨X1 ,X 2 ⟩ = C + si et seulement si il existe une fonction f croissante telle que X 2 = f (X 1 ).Dans le cas de la distribution gaussienne Φ 2 (x 1 , x 2 ; ρ), on sait que (TR-GDR, page 284) :(i) si ρ = −1, alors X 2 = −X 1 ;(ii) si ρ = 0, X 1 et X 2 sont indépendantes ;(iii) si ρ = 1, alors X 2 = X 1 ;Si ρ = −1 (resp. ρ = 1), on a trouvé une fonction décroissante f (x) = −x (resp. croissante f (x) = x)telle que X 2 = f (X 1 ). On en déduit donc que C (ρ=−1) = C − , C (ρ=0) = C ⊥ et C (ρ=1) = C + .4. On note :U 1 = 1 − e −λτU 2 = LGD57