Correction des exercices du livre La Gestion des Risques Financiers

4. On a (TR-GDR, page 427) :⎧⎨ e −λ1t si t ≤ 3S (t) = e −3λ1−λ2(t−3) si 3 < t ≤ 5⎩e −3λ 1−2λ 2 −λ 3 (t−5)si t > 5et :On vérifie que :⎧⎨ λ 1 e −λ 1tsi t ≤ 3f (t) = λ 2 e −3λ 1−λ 2 (t−3)si 3 < t ≤ 5⎩λ 3 e −3λ 1−2λ 2 −λ 3 (t−5)si t > 5f (t)S (t) = ⎧⎨⎩5. Si τ ∼ E λ , on obtient (TR-GDR, page 411) :λ 1 si t ≤ 3λ 2 si 3 < t ≤ 5λ 3 si t > 5s = (1 − R) ∫ T0 e−rt · f (t) dt∫ T0e−rt · S (t) dt= (1 − R) ∫ T0 e−rt · λe −λt dt∫ T0e−rt · e −λt dt= (1 − R) λ∫ T0∫ T0= (1 − R) × λe−rt · e −λt dte−rt · e −λt dt6. On a donc : ⎧⎪s 1 = (1 − R) × ∫ (3∫ 3⎨0 e−rt · f (t) dt ×0 e−rt · S (t) dt⎪ ⎩ou encore :avec :⎧⎪⎨⎪⎩s 2 = (1 − R) × ∫ (5∫ 50 e−rt · f (t) dt ×0 e−rt · S (t) dts 3 = (1 − R) × ∫ 70 e−rt · f (t) dt ×( ∫ 70 e−rt · S (t) dt) −1) −1) −1s 1 = (1 − R) × λ 1s 2 = (1 − R) × (λ 1 I 1 (λ 1 ) + λ 2 I 2 (λ 1 , λ 2 )) × (I 1 (λ 1 ) + I 2 (λ 1 , λ 2 )) −1s 3 = (1 − R) × (λ 1 I 1 (λ 1 ) + λ 2 I 2 (λ 1 , λ 2 ) + λ 3 I 3 (λ 1 , λ 2 , λ 3 )) ×(I 1 (λ 1 ) + I 2 (λ 1 , λ 2 ) + I 3 (λ 1 , λ 2 , λ 3 )) −1I 1 (λ 1 ) =I 2 (λ 1 , λ 2 ) =I 3 (λ 1 , λ 2 , λ 3 ) =∫ 30∫ 53∫ 75e −rt−λ1t dte −rt−3λ 1−λ 2 (t−3) dte −rt−3λ1−2λ2−λ3(t−5) dtA partir de la première équation, on estime le paramètre ˆλ 1 . On peut alors résoudre la deuxièmeéquation qui ne comporte plus qu’une seule inconnue λ 2 :))ˆλ 1 I 1(ˆλ1 + λ 2 I 2(ˆλ1 , λ 2s 2 = (1 − R) × ))I 1(ˆλ1 + I 2(ˆλ1 , λ 260