Correction des exercices du livre La Gestion des Risques Financiers

On en déduit donc que :F −1 (α) =I∑(EAD i ×E [LGD i ] × PD i H −1 (α) )i=1Dans le cas où g (x) est une fonction décroissante, on a :On en déduit donc que :F −1 (α) =⇔Pr {g (X) ≤ l} = αPr { X ≥ g −1 (l) } = α⇔ H ( g −1 (l) ) = 1 − α⇔ l = g ( H −1 (1 − α) )I∑(EAD i ×E [LGD i ] × PD i H −1 (1 − α) )i=1Si au moins une des expositions EAD i est négative, la fonction g (x) n’est plus forcément monotone.On ne vérifie plus g (X) ≤ l ⇔ X ≤ g −1 (l) (cas croissant) ou g (X) ≤ l ⇔ X ≥ g −1 (l) (casdécroissant) et les expressions de F −1 (α) ne sont plus valides. On ne peut donc pas utiliser le modèlede capital réglementaire si le portefeuille de crédit contient une (ou plusieurs) exposition nettenégative sur une contrepartie. Pour la gestion de portefeuille de crédit, cela implique que l’achatd’une protection de type CDS sur une contrepartie ne doit se faire que pour réduire l’exposition surcette contrepartie et non pour prendre une position short sur celle-ci.5. On a (TR-GDR, pages 181-182) :d’où B i = Φ −1 (PD i ). On a aussi :PD i = Pr {τ i ≤ M i }= Pr {Z i ≤ B i }= Φ (B i )Pr {τ i ≤ M i | X = x} = Pr {Z i ≤ B i | X = x}{ √ρX √ }= Pr + 1 − ρεi ≤ B i | X = x{= Pr ε i ≤ B i − √ }ρX√ | X = x1 − ρ( Φ −1 (PD i ) − √ )ρx= Φ √ 1 − ρEn utilisant la paramétrisation de Φ (x 1 , x 2 ; ρ) donnée à la page 296 de TR-GDR, on a :( ΦE X[Φ−1 (PD i ) − √ )] ∫ρX∞( Φ −1 (PD i ) − √ )ρx√ = Φ √ ϕ (x) dx1 − ρ −∞1 − ρ= Φ ( ∞, Φ −1 (PD i ) ; ρ )= PD i6. La probabilité de défaut conditionnelle étant une fonction décroissante de x, on a :I∑F −1 ((α) = EAD i ×E [LGD i ] × PD i Φ −1 (1 − α) )==i=1I∑i=1I∑i=1( Φ −1 (PD i ) − √ ρΦ −1 )(1 − α)EAD i ×E [LGD i ] × Φ√ 1 − ρ( Φ −1 (PD i ) + √ ρΦ −1 )(α)EAD i ×E [LGD i ] × Φ √ 1 − ρ16