Correction des exercices du livre La Gestion des Risques Financiers

2. On a PnL (t; t + 1) = 100×(R A − R B ). On utilise les données historiques pour calculer les scénariosde rendements joints (R A , R B ). On en déduit ensuite la distribution empirique du PnL. Enfin, oncalcule le quantile empirique correspondant. Avec 250 scénarios, le quantile empirique 1% est àmi-chemin entre la deuxième et troisième pires pertes :VaR 1D = −[−3,09 + 1 ]2 (−2,72 − (−3,09))= 2,905La probabilité de perdre 2,905 euros par jour est de 1%. On obtient un résultat très prochede la VaR Gaussienne.3. L’expression du PnL devient (TR-GDR, pages 91-95) :avec C A (t) la valeur de l’option d’achat. On a :avec ∆ le delta de l’option. On en déduit que :PnL (t; t + 1) = (P A (t + 1) − P A (t)) −(P B (t + 1) − P B (t)) −(C A (t + 1) − C A (t))C A (t + 1) − C A (t) ≃ ∆ × (P A (t + 1) − P A (t))PnL (t; t + 1) = 50 × R A − 100 × R BÀ titre d’illustration, on obtient pour la VaR analytique :VaR 1D = Φ −1 (0,99) × σ A/B × 1 √260= 2,33 × 17,32 × 1 √260= 2,50car :σ A/B =√(50 × 0,20) 2 + (−100 × 0,20) 2 + 2 × 0,5 × (50 × 0.20) × (−100 × 0,20)= 17,32La VaR 1 jour 99% est donc passée de 2,89 euros à 2,50 euros.1.2 Valeur en risque d’un portefeuille de gestion (TR-GDR, page 538)1. On a (TR-GDR, page 63) :PnL (t; t + 1) = P (t + 1) − P (t)= P (t) (1 + R (t; t + 1)) − P (t)= P (t) R (t; t + 1)avec P (t) la valeur du portefeuille à la date t et R (t; t + 1) le rendement du portefeuille pourla période [t; t + 1]. À la date t, P (t) est une variable certaine – P (t) est égal à 20 000 euros –tandis que R (t; t + 1) est aléatoire. Par construction, R (t; t + 1) suit une distribution N (µ p , σ p )avec µ p = x ⊤ µ le rendement espéré du portefeuille et σ p = √ x ⊤ Σx la volatilité du portefeuille. SoitVaR α la valeur en risque du portefeuille. Celle-ci vérifie :Pr {PnL (t; t + 1) ≤ − VaR} = 1 − α3