Correction des exercices du livre La Gestion des Risques Financiers

(b) On en déduit que :√VaR = P (t) × Φ −1 (α) × (βσ F ) 2 x ⊤ 11 ⊤ x + x ⊤ DxSi σ 2 i = σ2 j = σ2 , alors le portefeuille de VaR minimale satisfait le programme d’optimisationsuivant :x ⋆ = arg min 1 2 x⊤ ( (βσ F ) 2 11 ⊤ + σ 2 I n)xs.c. 1 ⊤ x = 1Le Lagrangien est :f (x; λ) = 1 2 x⊤ Qx − λ ( 1 ⊤ x − 1 )avec Q = (βσ F ) 2 11 ⊤ + σ 2 I n . Les conditions de premier ordre sont :{∂x f (x; λ) = Qx − λ1 = 0∂ λ f (x; λ) = 1 ⊤ x − 1 = 0On obtient x = λQ −1 1. On en déduit aussi que :d’où :La solution optimale est donc :1 ⊤ x − 1 = 0⇔ 1 ⊤ λQ −1 1 − 1 = 0x ⋆ =λ =11 ⊤ Q −1 111 ⊤ Q −1 1 Q−1 1La matrice Q −1 est particulière. C’est une matrice telle que ( Q −1) = ( Q −1) et ( Q −1)( ) =i,i j,j i,jQ−1car les termes de variance sont les mêmes ainsi que les termes de covariance. Lej,iportefeuille de valeur en risque minimale est donc le portefeuille équipondéré (ou portefeuille1/n) :x ⋆ i = 1 n1.3 Construction d’un scénario de stress à partir de la théorie des valeursextrêmes (TR-GDR, page 542)1. Le théorème de Fisher-Tippet permet de caractériser la loi asymptotique de X n:n = max (X 1 , . . . , X n )avec X i des variables aléatoires iid de distribution F. S’il existe des constantes a n et b n telles que :{ }lim Pr Xn:n − b n≤ x = G (x)n→∞ a nalors G est une distribution de Gumbel, de Fréchet ou de Weibull (TR-GDR, page 139).2. On a (TR-GDR, page 140) :{Xn:n − b nPra n}≤ x= Pr {X n:n ≤ a n x + b n }= F n (a n x + b n )5