Correction des exercices du livre La Gestion des Risques Financiers

1.5 Les mesures de risque (TR-GDR, page 549)1. (a) On a (TR-GDR, page 29) :VaR (α) = inf {x : Pr {L ≥ x} ≥ α}ES (α) = E [L| L ≥ VaR (α)](b) On suppose que F est continue. On a donc VaR (α) = F −1 (α). On en déduit que :ES (α) = E [ L| L ≥ F −1 (α) ]==∫ ∞F −1 (α)∫ ∞11 − αf (x)x1 − F (F −1 (α)) dxF −1 (α)xf (x) dxOn considère le changement de variable t = F (x). Comme dt = f (x) dx et F (∞) = 1, onobtient :ES (α) = 1 ∫ 1F −1 (t) dt1 − α(c) On a :On a donc :αf (x) = θ x−(θ+1)x −θ−On en déduit que :et :On remarque aussi que :E [L n ] ====∫ ∞x −E [L] =E [ L 2] =x n θ x−(θ+1)dx∫ ∞x −θ−θx −θ x n−θ−1 dx− x −[ ]θ xn−θ ∞x −θ n − θ−x −θθ − n xn −θθ − 1 x −θθ − 2 x2 −var (L) = E [ L 2] − E 2 [L] =θ(θ − 1) 2 (θ − 2) x2 −x − permet de localiser la distribution tandis que θ contrôle la queue de distribution. On a :( F −1 ) −θ(α)1 −= αx −On en déduit que :F −1 (α) = x − (1 − α) −θ−19