Correction des exercices du livre La Gestion des Risques Financiers

On a (TR-GDR, page 484) :On en déduit que :ρ ⟨S 1 , S 2 ⟩ = 1 ⇔ ∃ (a, b) ∈ R × R + : S 1 = a + bS 2e R1 = a + be R2X 1 = 1 σ 1ln ( a + be σ 2X 2)Comme (X 1 , X 2 ) est un vecteur gaussien, on en déduit que a = 0 et :X 1 = ln bσ 1+ σ 2σ 1X 2Comme E [X 1 ] = 0, b = 0. La condition E [ X 2 1]= 1 implique que σ1 = σ 2 . On obtient donc lerésultat suivant :ρ ⟨S 1 , S 2 ⟩ = 1 ⇔ σ 1 = σ 2Corréler parfaitement les mouvements browniens W 1 (t) et W 2 (t) dans le modèle Black-Scholes n’estpas suffisant pour corréler parfaitement les prix des actifs S 1 (t) et S 2 (t). Il faut aussi imposer queσ 1 = σ 2 . Si σ 1 ̸= σ 2 et W 1 (t) = W 2 (t), on obtient alors que (TR-GDR, page 484) :3. On a :(a) On a (TR-GDR, page 269) :ρ ⟨S 1 , S 2 ⟩ < 1C ⟨X1 ,X 2 ⟩ = θC − + (1 − θ) C +F (x 1 , x 2 ) = θ max (Φ (x 1 ) + Φ (x 2 ) − 1) + (1 − θ) min (Φ (x 1 ) , Φ (x 2 ))On en déduit que :E [X 1 X 2 ] =∫∫x 1 x 2 dF (x 1 , x 2 )= θ × (−1) + (1 − θ) × (+1)On obtient donc :ρ ⟨X 1 , X 2 ⟩ = E [X 1 X 2 ]= 1 − 2θLa corrélation linéaire de X 1 et X 2 est nulle lorsque :θ = 1 2(b) Soient X ⋆ 1 ∼ N (0, 1) et X ⋆ 2 ∼ N (0, 1). On a (TR-GDR, page 284) :(c) On a :ρ ⟨X 1 , X 2 ⟩ = ρ ⟨µ 1 + σ 1 X ⋆ 1 , µ 2 + σ 2 X ⋆ 2 ⟩= ρ ⟨X ⋆ 1 , X ⋆ 2 ⟩= 1 − 2θθ = 1 − ρ ⟨X 1, X 2 ⟩2On calcule donc la corrélation empirique ˆρ et on en déduit que l’estimateur des moments est(TR-GDR, page 328) :ˆθ = 1 − ˆρ238