Correction des exercices du livre La Gestion des Risques Financiers

L’estimateur du maximum de vraisemblance est donc :/∑ nˆθ = n ln L ix −Pour m ≥ 1, on a :i=1On en déduit que :et :On remarque aussi que :E [L m i ] ====∫ ∞x −E [L] =E [ L 2] =x m θ x−(θ+1)dx∫ ∞x −θ−θx −θ x m−θ−1 dx− x −[ ]θ xm−θ ∞x −θ m − θ−x −θθ − m xm −θθ − 1 x −θθ − 2 x2 −var (L) = E [ L 2] − E 2 [L] =θ(θ − 1) 2 (θ − 2) x2 −On peut donc estimer les paramètres µ et σ par la méthode généralisée des moments enconsidérant les moments empiriques suivantes :h i,1 (θ) = L i − θθ − 1 x −(h i,2 (θ) = L i −θθ − 1 x ) 2−θ(θ − 1) 2 (θ − 2) x2 −La mise en place de la méthode GMM peut se faire en considérant soit le premier momenth i,1 (θ), soit le second moment h i,2 (θ) soit les deux moments joints (h i,1 (θ) , h i,2 (θ)).(c) L’expression de la densité conditionnelle dans le cas (ii) est (TR-GDR, page 242) :f (L i = x | L i ≥ H) ==f (x)1 − F (x)( )/ (θ x−(θ+1)x −θ−= θ x−(θ+1)H −θLa distribution conditionnelle est donc une distribution de Pareto de même paramètre θ avecx − = H. L’estimateur ˆθ du maximum de vraisemblance devient donc :nˆθ =( ∑ ni=1 ln L i) − n ln HH −θx −θ−)25