Correction des exercices du livre La Gestion des Risques Financiers

avec x ∈ [ 0, σ ( t 3 − 7 3 T t2 + 4 3 T 2 t )] . On a donc :avec :PFE α (0; t) = F −1[0,t](t (α) = ασ 3 − 7 3 T t2 + 4 )3 T 2 tPE α (0) = 1 {t < t ⋆ } · PFE α (0; t) + 1 {t ≥ t ⋆ } · PFE α (0; t ⋆ )EE (0; t) = 1 (t2 σ 3 − 7 3 T t2 + 4 )3 T 2 t( 9h 3 − 28T h 2 + 24T 2 )hEPE (0; h) = σ72EEE (0; t) = 1 {t < t ⋆ } · EE (0; t) + 1 {t ≥ t ⋆ } · EE (0; t ⋆ )EEPE (0; h) = 1 h∫ h0EEE (0; t) dtt ⋆ =(7 − √ )13T9Cette exercice est plus difficile que le précédent, car la fonction e (t) n’est pas monotonecroissante. Elle est croissante pour t < t ⋆ 1 et ensuite décroissante 4 . Ceci explique que l’ondoit déterminer pour PE α (0) et EEE (0; t) l’optimum t ⋆ . À titre de comparaison, nousreportons les différentes fonctions EE (0; t), EPE (0; h), EEE (0; t) et EEPE (0; h) pour cesdeux exercices sur les graphiques 1 et 2.Figure 1 – Exposition au défaut si e (t) = exp ( σ √ tN (0, 1) )4. En fait, il y a une seconde racine :t ⋆ 2 = (7 + √ )13T9On note que e (t) peut prendre des valeurs négatives pour t autour de cette racine. On ignore ce problème pour calculer lesdifférentes quantités.20