Correction des exercices du livre La Gestion des Risques Financiers

(a) La dépendance est maximale lorsque C ⟨τ,LGD⟩ = C + . Dans ce cas, on a U 1 = U 2 (TR-GDR,page 274) et on en déduit que :LGD +e −λτ − 1 = 0(b) Si C ⟨τ,LGD⟩ = C − , on a U 1 = 1 − U 2 et donc LGD = e −λτ . On sait que ρ (τ, LGD) ∈[ρ min (τ, LGD) , ρ max (τ, LGD)] avec ρ min (τ, LGD) la corrélation correspondant à la copule C −et ρ max (τ, LGD) la corrélation correspondant à la copule C + . Comme τ ∼ E λ et LGD ∼ U [0,1] ,il vient que :E [τ] = σ (τ) = 1 λE [LGD] = 1 2σ (LGD) =√112Dans le cas où C = C − , on a LGD = e −λτ . On a donc :E [τ LGD] = E [ τe −λτ ]===∫ ∞0∫ ∞te −λt λe −λt dttλe −2λt dt0] ∞ [− te−2λt20[− e−2λt+ 1 2∫ ∞0e −2λt dtOn en déduit que := 0 + 1 2= 14λ2λ( 1ρ min (τ, LGD) =4λ − 1 )/ ( )1 12λ λ√12√3= −2] ∞0Dans le cas où C = C + , on a LGD = 1 − e −λτ . On a donc :E [τ LGD] = E [ τ ( 1 − e===∫ ∞0∫ ∞−λτ)]t ( 1 − e −λt) λe −λt dt∫ ∞tλe −λt dt − tλe −2λt dt00( [−te−λt ] ∫ ∞)∞+ e −λt dt0= 0 += 34λ] ∞ [− e−λtλ00− 14λ− 14λ58