Correction des exercices du livre La Gestion des Risques Financiers

On en déduit que :E [ PnL 3] = E[ (∆σS t X + 1 2 Γσ2 S 2 t X 2 ) 3]= E[∆ 3 σ 3 St 3 X 3 + 3 2 ∆2 Γσ 4 St 4 X 4 + 3 4 ∆Γ2 σ 5 St 5 X 5 + 1 ]8 Γ3 σ 6 St 6 X 6et := 9 2 ∆2 Γσ 4 S 4 t + 158 Γ3 σ 6 S 6 tE [ PnL 4] = E[ (∆σS t X + 1 2 Γσ2 S 2 t X 2 ) 4]= 3∆ 4 σ 4 S 4 t + 452 ∆2 Γ 2 σ 6 S 6 t + 10516 Γ4 σ 8 S 8 tL’expression des moments centrés est donc :[E (PnL −E [PnL]) 3] = E [ PnL 3] − 3E [PnL] E [ PnL 2] + 2E 3 [PnL]= 9 2 ∆2 Γσ 4 S 4 t + 158 Γ3 σ 6 S 6 t − 3 2 ∆2 Γσ 4 S 4 t − 9 8 Γ3 σ 6 S 6 t + 2 8 Γ3 σ 6 S 6 t= 3∆ 2 Γσ 4 S 4 t + Γ 3 σ 6 S 6 tet :[E (PnL −E [PnL]) 4] = E [ PnL 4] − 4E [PnL] E [ PnL 3] + 6E 2 [PnL] E [ PnL 2] − 3E 4 [PnL]= 3∆ 4 σ 4 St 4 + 452 ∆2 Γ 2 σ 6 St 6 + 10516 Γ4 σ 8 St 8 − 9∆ 2 Γ 2 σ 6 St 6 − 154 Γ4 σ 8 St 8 +32 ∆2 Γ 2 σ 6 St 6 + 9 8 Γ4 σ 8 St 8 − 3 16 Γ4 σ 8 St8= 3∆ 4 σ 4 St 4 + 15∆ 2 Γ 2 σ 6 St 6 + 154 Γ4 σ 8 St8L’expression de γ 1 et γ 2 est donc (TR-GDR, page 82) :γ 1 (L) = −γ 1 (PnL)E[(PnL −E [PnL]) 3]= −σ 3 (PnL)= − 3∆2 Γσ 4 S 4 t + Γ 3 σ 6 S 6 t(∆2 σ 2 S 2 t + 1 2 Γ2 σ 4 S 4 t) 3/2γ 2 (L) = γ 2 (PnL)E[(PnL −E [PnL]) 4]=σ 2 − 3(PnL)= 3∆4 σ 4 S 4 t + 15∆ 2 Γ 2 σ 6 S 6 t + 154 Γ4 σ 8 S 8 t(∆2 σ 2 S 2 t + 1 2 Γ2 σ 4 S 4 t) 2− 3En utilisant les valeurs numériques des différents paramètres, on obtient σ (L) = 1,0016,γ 1 (L) = −0,2394, γ 2 (L) = 0,0764, z α (γ 1 , γ 2 ) = 2,1466 et VaR (α) = 2,15 euros.(d) La VaR est réduite avec la méthode Cornish-Fisher à cause de l’effet de skewness 8 . Commecelle-ci est négative, cela revient à réduire la queue de distribution de probabilité de la perte8. L’excès de kurtosis a très peu d’effet.36