Correction des exercices du livre La Gestion des Risques Financiers

1.7 Contribution en risque dans le modèle Bâle II (TR-GDR, page 541)1. On suppose que (TR-GDR, page 179) :(a) les pertes en cas de défaut LGD i sont indépendantes des temps de défaut τ i ;(b) le défaut de la i-ième créance dépend d’un ensemble de facteurs communs X 1 , . . . , X m ;(c) le portefeuille est infiniment granulaire ; il n’y a donc pas de concentration d’exposition surune contrepartie, ce qui se peut se traduire par la propriété mathématique suivante :EAD i/ I∑i=1EAD i ≃ 02. Soit R une mesure de risque. La contribution en risque de la créance i est le produit de l’expositionde la créance i et du risque marginal (TR-GDR, page 497) :RC i = EAD i ×∂ R∂ EAD iDans le cas d’une mesure de risque convexe, on a :R =I∑RC iLa mesure de risque est alors égale à la somme des différentes contributions en risque.3. On a :i=1EL = E [L]UL = F −1 (α) − ELavec F la fonction de répartition de L. Si les temps de défaut sont indépendants, on obtient :E [L | X 1 , . . . , X m ] =I∑EAD i ×E [LGD i ] × PD i = ELi=1L n’est donc plus aléatoire, on a Pr {L = EL} = 1. Il vient que F −1 (α) = EL et UL = 0.4. On note (TR-GDR, page 180) :d’où :On a donc :g (x) =I∑EAD i ×E [LGD i ] × PD i (x)i=1E [L | X = x] = g (x)F (l) = Pr {L ≤ l} = Pr {g (X) ≤ l}Comme EAD i ≥ 0 et E [LGD i ] ≥ 0, g (x) est une fonction monotone croissante (resp. décroissante)si PD i (x) est une fonction croissante (resp. décroissante) de x. Dans le cas où g (x) est une fonctioncroissante, on a :⇔Pr {g (X) ≤ l} = αPr { X ≤ g −1 (l) } = α⇔ H ( g −1 (l) ) = α⇔ l = g ( H −1 (α) )15