Correction des exercices du livre La Gestion des Risques Financiers

Soit λ + = max (λ 1 , . . . , λ n ) et λ − = min (λ 1 , . . . , λ n ). On en déduit que :{ ( 1Pr {min (τ 1 , . . . , τ n ) ≥ t} = Pr min , 1 ) }1, . . . , λ 1 τ 1 ≥ tλ 1 λ 2 λ n{ }λ1= Prλ + τ 1 ≥ t}= Pr{τ 1 ≥ λ+tλ 1λ= exp(−λ + )1 tλ 1= exp ( −λ + t )et :{ }λ1Pr {max (τ 1 , . . . , τ n ) ≤ t} = Prλ − τ 1 ≤ tλ= 1 − exp(−λ − )1 tλ 1= 1 − exp ( −λ − t )On obtient finalement que :min (τ 1 , . . . , τ n ) ∼ E ( λ +)max (τ 1 , . . . , τ n ) ∼ E ( λ −)(c) On considère le cas n = 2. On a :Pr {min (τ 1 , τ 2 ) = τ 2 } = Pr {τ 2 ≤ τ 1 }====∫ ∞ ∫ t10∫ ∞0∫ ∞0∫ ∞0= 1 − λ 1λ 1 + λ 2=λ 2λ 1 + λ 2λ 1 e −λ 1t 1λ 2 e −λ 2t 2dt 1 dt 20(∫ t1)λ 1 e −λ 1t 1λ 2 e −λ 2t 2dt 2 dt 10λ 1 e −λ 1t 1(1 − e−λ 2 t 1)dt1∫ ∞λ 1 e −λ1t1 dt 1 − λ 1 e −(λ1+λ2)t1 dt 1Ce résultat se généralise facilement au cas n ≥ 2 et on obtient :Pr {min (τ 1 , . . . , τ n ) = τ i } =0λ i∑ nj=1 λ j3. (a) Si la fonction de dépendance de (τ 1 , τ 2 ) est C + , alors τ 1 et τ 2 sont co-monotones. En utilisantles résultats de la question 2b, on obtient :τ 1 = λ 2λ 1τ 240