Correction des exercices du livre La Gestion des Risques Financiers

3. (a) φ est une fonction de classe C 2 qui vérifie φ (1) = 0, φ ′ (u) < 0 et φ ′′ (u) > 0 (TR-GDR, page293).(b) C ⊥ est archimédienne avec φ (u) = − ln u, C − est archimédienne avec φ (u) = 1 − u et C +n’est pas archimédienne (TR-GDR, page 294).(c) C’est la copule de Gumbel (TR-GDR, page 294) :(C (u 1 , u 2 ) = exp −[(− ln u 1 ) θ + (− ln u 1 ) θ] ) 1/θOn a (TR-GDR, page 308) :C ( u t 1, u t )2( [ (− )= exp − ln ut θ ( ) ] )1 + − ln ut θ 1/θ1(= exp −(t [ θ (− ln u 1 ) θ + (− ln u 1 ) θ]) ) 1/θ(= exp −t[(− ln u 1 ) θ + (− ln u 1 ) θ] ) 1/θ= C t (u 1 , u 2 )C’est donc une copule de valeurs extrêmes.(d) Soit f une fonction. On note y = f (x). On a dy = ∂ x f (x) dx, x = f −1 (y) et dx =∂ y f −1 (y) dy. On en déduit que :∂ y f −1 (y) ==1∂ x f (x)1∂ x f (f −1 (y))On a donc :C 2|1 (u 1 , u 2 ) =φ ′ (u 1 )φ ′ (φ −1 (φ (u 1 ) + φ (u 2 )))Soient v 1 et v 2 deux nombres aléatoires uniformes. L’algorithme des distributions conditionnellesrevient à poser : {u1 = v 1C 2|1 (u 1 , u 2 ) = v 2On en déduit que (TR-GDR, page 320) :{u1 = v 1 ( ( )) )u 2 = φ(φ−1 φ ′−1 φ ′ (v 1)v 2− φ (v 1 )On obtient l’algorithme de Genest et MacKay (1986).4. (a) Soit X 3 une variable gaussienne indépendante de X 1 et X 2 . On a :On en déduit que (TR-GDR, page 296) :X 2 = ρX 1 + √ 1 − ρ 2 X 3Φ (x 1 , x 2 ; ρ) = Pr {X 1 ≤ x 1 , X 2 ≤ x 2 }[= E Pr{X 1 ≤ x 1 , ρX 1 + √ }]1 − ρ 2 X 3 ≤ x 2 | X 1∫ ( )x1x 2 − ρx= Φ √ ϕ (x) dx1 − ρ2−∞44