Correction des exercices du livre La Gestion des Risques Financiers

Pour calculer les expressions des estimateurs ˆµ et ˆσ, on peut procéder de deux façons.#1 On sait que si Y ∼ LN (µ, σ), alors X = ln Y ∼ N (µ, σ) et que les estimateurs ˆµ et ˆσ dumaximum de vraisemblance de X ∼ N (µ, σ) sont :n∑ˆµ = 1 nˆσ = √ 1 ni=1x in∑(x i − ˆµ) 2On en déduit que les estimateurs ˆµ et ˆσ du maximum de vraisemblance dans le cas (i)sont :i=1ˆµ = 1 n∑ln L ini=1ˆσ = √ 1 n∑(ln L i − ˆµ) 2n#2 On maximize la log-vraisemblance et on en déduit les estimateurs ˆµ et ˆσ :i=1(ˆµ, ˆσ) = arg max l (µ, σ)Cela revient à résoudre les conditions du 1 er ordre :{∂µ l (µ, σ) = 0∂ σ l (µ, σ) = 0On a :et donc :On a :et donc :Pour m ≥ 1, on a :E [L m i ] =∂ µ l (µ, σ) = 1 σ 2ˆµ = 1 nn ∑i=1(ln L i − µ) = 0n∑ln L ii=1∂ σ l (µ, σ) = − n n σ + ∑ (ln L i − µ) 2σ 3 = 0∫ ∞0ˆσ = √ 1 ni=1n∑(ln L i − ˆµ) 2i=1x m 1σx √ 2π exp (− 1 2( ) ) 2 ln x − µdxσ23