Disciplina: Fundamentos da Geometria Euclidiana - UFPB Virtual

Teorema 2:
Dialogando e construindo o seu conhecimento
Se um triângulo é isósceles, então os ângulos da base são congruentes.
Demonstração
Seja ABC um triângulo isósceles, no qual AB = AC. Gostaríamos de mostrar que B Cˆ
ˆ = .
Para isso, consideremos duas cópias do triângulo, conforme a figura abaixo.
Ao estabelecermos a correspondência biunívoca A ↔ A,
B ↔ C e C ↔ B , obtemos que ABC =
ACB, pois AB = AC e AC = AB, por hipótese, enquanto BAˆ
C = CAˆ
B = Aˆ
, já que qualquer ângulo é igual a si
próprio. A congruência dos triângulos ABC e ACB decorre do caso LAL. Finalmente, como na
correspondência biunívoca estabelecida acima, temos B ↔ C . Decorre dai, que B Cˆ
ˆ = , como queríamos
demonstrar.
Teorema 3:
Se um triângulo ABC tem dois ângulos congruentes, então ele é isósceles.
Demonstração
É importante notar que um triângulo com os três lados congruentes (equilátero),
evidentemente tem dois lados congruentes, portanto é isósceles. Este argumento justifica a
proposição.
P: Se um triângulo é equilátero, então ele é isósceles.
A recíproca da proposição P é
Q: Se um triângulo é isósceles, então ele é equilátero.
Enquanto P é verdadeira, Q é falsa. Pois o triângulo pode ter dois lados congruentes, sem
que o terceiro lado seja congruente a nenhum dos outros dois.
Na linguagem da lógica simbólica, podemos então concluir que, as proposições “um
triângulo é isósceles” e “um triângulo é equilátero”, não são equivalentes.
Considere um triângulo ABC, no qual B Cˆ
ˆ = . Gostaríamos de mostrar que AB = AC. Para isso,
consideremos as duas cópias do triângulo e a correspondência biunívoca, como na demonstração do teorema
2 acima. Como B Cˆ
ˆ = e C Bˆ
ˆ = , segue-se pelo caso ALA, que a correspondência biunívoca A↔ A,
B ↔ C
e C ↔ A nos garante a congruência dos triângulos ABC e CAB, dai decorre particularmente que AB = AC,
como queríamos demonstrar.
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