Disciplina: Fundamentos da Geometria Euclidiana - UFPB Virtual

m c h
m h
2
= = e portanto, da igualdade = , segue-se que h = m.
n . Isto conclui o que pretendíamos
h b n
h n
mostrar. Agora vamos obter, como consequência, o célebre Teorema de Pitágoras.
Teorema 4 (Pitágoras)
Em qualquer triângulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da
medida de sua hipotenusa.
Demonstração
Considere a mesma figura usada na ilustração anterior. Gostaríamos então de mostrar que
2
a
2 2
2
= b + c . Para isso, vamos inicialmente utilizar os fatos b = a.
n
2
e c = a.
m , demonstrados
2 2
anteriormente, para obtermos que b + c = a.
n + a.
m = a.
( n + m)
Como
demonstração.
m + n = a , segue-se que b + c = a.
a , ou seja
Teorema 5 (recíproca do teorema de Pitágoras)
2
2
176
.
2
2
2
a = b + c . Isto conclui a
Em um triângulo qualquer, cujas medidas dos lados, em uma mesma unidade, são representadas por a, b e c,
2 2 2
se a = b + c , então o triângulo é retângulo e a sua hipotenusa é o lado cuja medida é a.
Demonstração
Sejam ABC um triângulo, cujas medidas dos lados, em uma mesma unidade, sejam representadas por
2 2 2
a, b e c. Além disso, suponha que a = b + c . Gostaríamos de mostrar que ABC é um triângulo retângulo
cuja medida da hipotenusa é a. Para isso, a partir das medidas b e c construa um triângulo retângulo A’B’C’,
cujos catetos A’B’ e C’A’ tenham medidas c e b, respectivamente. Nesse triângulo retângulo A’B’C’, obtemos
pelo teorema de Pitágoras, que sua hipotenusa B’C’ tem medida igual a
2
2
2
2
2
2
2
b + c . Mas, por hipótese,
a = b + c , ou seja, a = b + c . Portanto, as medidas dos três lados do triângulo A’B’C’, são iguais
às medidas dos três lados do triângulo ABC. Dai, decorre, pelo terceiro caso de congruência de triângulos,
que ABC = A’B’C’, ou seja, ABC é um triângulo retângulo cuja medida da hipotenusa é a, enquanto os dois
catetos têm medidas b e c. Isto conclui a demonstração.
Exemplos Ilustrativos
Refletindo...
O conceito matemático de semelhança de triângulos é muito forte e poderoso, por
exemplo, na resolução de uma gama de problemas importantes. Ele também tem uma grande
importância histórica, não apenas por estar intimamente ligado ao quinto postulado. Até me
arriscaria a dizer que ele é a Alma da Geometria! Apresentaremos abaixo alguns exemplos
ilustrativos, nos quais utilizamos semelhança de triângulos.
(1) As alturas relativas a “lados homólogos” de triângulos semelhantes guardam a mesma proporção
desses lados, conforme ilustra a figura abaixo.