Disciplina: Fundamentos da Geometria Euclidiana - UFPB Virtual

Teorema 1:
Observação
Quando consideramos a reta suporte de um corda AB, sem passar pelo centro C, ela também vai dividir a
circunferência em duas partes. Uma delas, contida em um dos dois semiplanos ilustrado na figura acima, onde C
está situado. A outra parte está contida no outro semiplano, conforme ilustra a figura seguinte.
Uma corda de uma circunferência intercepta um raio no ponto P. Se esse raio é perpendicular à corda, então
P é o ponto médio dessa corda.
Demonstração
O arco do semiplano 1 é dito “arco maior”, o outro é o “arco menor”.
Considere uma circunferência de cento O, onde um de seus raios OC intercepta
uma corda AB, em um ponto P, conforme ilustra a figura abaixo. Gostaríamos de
mostrar que, se OC é perpendicular a AB, então P é o ponto médio dessa corda, ou
seja, AP = PB. Para isso, trace os raios AO e OB, conforme ilustra a figura ao lado.
Em seguida, compare os triângulos OAP e OBP. Nesses triângulos temos OA = OB (ambos são raios),
OP = OP (lado comum). Como, por hipótese, o raio OC é perpendicular à corda AB, obtemos que os
triângulos OAP e OBP são retângulos, com ângulo reto no vértice P. Dai, pelo teorema de Pitágoras, segue-se
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que AP = OA − OP e PB = OB − OP , portanto AP = PB , o que equivale a dizer que P é o
ponto médio da corda AB. Isto conclui a demonstração.
Refletindo...
Note que a corda desenhada na figura acima não é um diâmetro. Caso ela fosse, os
pontos P e O coincidiriam. Nesse caso, AP e PB seriam raios, portanto congruentes, ou seja, P
coincidente com o centro O, é ponto médio de AB. Concluímos então que o teorema 1 é
valido, mesmo que a corda seja um diâmetro. Uma situação que pode ocorrer é P ser ponto
médio da corda AB , sem que o raio OC seja perpendicular à corda. Esta situação é ilustrada
na figura abaixo.
Note que OC é raio não perpendicular ao diâmetro AB, mas AO = OB. Caso a corda AB
não seja um diâmetro, vale a recíproca do teorema 1. Um bom exercício seria enunciar a
recíproca e, em seguida, apresentar uma demonstração.
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