Disciplina: Fundamentos da Geometria Euclidiana - UFPB Virtual

paralelo a BC. Além disso, como NM = MP e NP = AB , decorre que NM + MP = AB , de onde obtemos
1
NM + NM = AB e finalmente NM = AB . Isto conclui a demonstração.
2
A recíproca deste teorema é verdadeira e deixamos sua demonstração como mais um desafio para os
leitores.
Refletindo...
Ainda com relação ao teorema anterior, o que acontece quando, ao invés de subdividirmos em duas
partes congruentes, subdividimos em três partes congruentes, os lados AC e BC do triângulo ABC? E em
quatro, cinco, ... ? No sentido de obter respostas para essas questões, apresentamos a seguir mais um
teorema.
Teorema 14:
Sejam r, s e u três retas paralelas, cortadas por duas transversais t1 e t2, em pontos R, S, U e R’, S’, U’,
respectivamente. Se S está entre R e U, na reta t1, então S’ está entre R’ e U’, na reta t2. Além disso, se RS =
SU, então R’S’ = S’U’.
Demonstração
Este teorema que acabamos de demonstrar afirma que, ao subdividirmos em duas
partes congruentes quaisquer dois lados de um triângulo ABC, obtemos um outro triângulo
MNC (ver figura acima), cuja razão entre as medidas dos lados, pode ser dada por
MN NC CM 1 AB BC CA
= = = ou = = = 2 . A razão entre as medidas desses
AB BC CA 2 MN NC CM
lados, nessa ordem, tanto no primeiro quanto segundo caso, ilustram uma situação entre dois
triângulos, a qual será objeto de estudo, na próxima unidade. Trata-se do conceito de
“triângulos semelhantes”.
Considere as retas paralelas r, s e u, cortadas pelas transversais
t1 e t2, nos pontos R, S, U e R’, S’, U’, respectivamente. Vamos mostrar
inicialmente que, se S está entre R e U, na reta t1, então S’ está entre R’
e U’, na reta t2. Para isso, observe que os pontos R e U estão em
semiplanos distintos, relativamente à reta s, pois, por hipótese, S é um
ponto da reta s que está entre R e U. Note também que R e R’ estão em
um dos dois semiplanos determinados por s, uma vez que r e s são
paralelas, além do que R e R’ estão na reta r. analogamente, obtemos
que U e U’ estão em um dos dois semiplanos determinados por s. Dai, segue-se que R’ e U’ estão em
semiplanos distintos, relativamente à reta s. Portanto a reta s intercepta o segmento R’U’ em um único ponto.
Como, por hipótese, S’ é o ponto de intersecção das retas s e t2, além do que R’ e U’ estão em t2, segue-se
que o ponto de intersecção de R’U’ com a reta s é exatamente o ponto S’. Logo S’ está em R’U’. Concluímos
dai a primeira parta da demonstração, ou seja, S’ está entre R’ e U’, conforme ilustra a figura acima.
Vamos mostrar agora que, se RS = SU, então R’S’ = S’U’. Para isso, tracemos por S’ uma reta t,
paralela a t1, a qual corta as retas r e s, respectivamente, nos pontos G e H, conforme ilustrado na figura
acima. Comparemos agora os triângulos S’GR’ e S’HU’. Pelo fato de RSS’G e USS’H serem paralelogramos,
decorre que RS = GS’ e SU = S’H. Como, por hipótese, RS = SU, segue-se que GS’ = S’H. Em virtude do
paralelismo das retas r e u, obtemos que R 'Gˆ S'
= U'
Hˆ
S'
(ângulos alternos internos). Já R S G U S'H
ˆ ' ˆ'
= ' ,
por serem ângulos opostos pelo vértice. Dai, segue-se do caso ALA, sobre congruência de triângulos, que
S 'GR' = S'HU'
. Como consequência disso, obtemos em particular que R’S’ = S’U’. Isto conclui a
demonstração.
O teorema a seguir é uma consequência natural do anterior. A sua demonstração é análoga e será
deixada como desafio para os leitores.
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