Disciplina: Fundamentos da Geometria Euclidiana - UFPB Virtual

Nesse caso, teríamos um triângulo PQR com dois ângulos retos. Mas já sabemos que isso é impossível.
Concluímos então que, nas condições do teorema, s é unicamente determinada.
Teorema 4:
Dialogando e construindo o seu conhecimento
A transformação do plano α , por uma reflexão relativamente a uma reta r, contida em α , denotada por Fr,
preserva distâncias, isto é:
Dados quaisquer dois pontos P e Q, em α , os segmentos de reta PQ e Fr(P)Fr(Q) = P’Q’ têm a mesma
medida.
Demonstração
Sejam α um plano, r uma reta contida em α e Fr a
transformação do plano α , relativamente a r. Dados agora
quaisquer dois pontos P e Q, pertencentes a α , gostaríamos de
mostrar que os segmentos PQ e P’Q’ são congruentes, quando
P’ = Fr(P) e Q’ = Fr(Q), conforme ilustrado na figura ao lado.
O ponto V foi escolhido, de modo que esteja alinhado com P e Q. Pela própria construção dos pontos P’
e Q’, decorre que V, P’ e Q’ também estão alinhados. Vamos agora comparar os triângulos VQN e VQ’N.
Temos que: VN = VN (lado comum), V Nˆ
Q = VNˆ
Q'
(são ângulos retos) e QN = Q’N (pois Q’ é o reflexo de
Q). Dai, pelo caso LAL, de congruência de triângulos, VQN=VQ’N. Analogamente mostramos a congruência
dos triângulos VPM e VP’M.
Dessas congruências, obtemos que VQ = VQ’ e VP = VP’, como consequência disso os segmentos PQ e
P’Q’ tem a mesma medida. Isto equivale dizer que PQ = P’Q’ e conclui a demonstração.
Observação:
Observação
Note que a demonstração desse teorema nos dá um método para construção de retas
perpendiculares. Além disso, se, ao invés de apenas o ponto P, fora de r, tivéssemos dois pontos
distintos P e Q, ambos fora de r, obteríamos uma perpendicular s, que passa por P, e outra
perpendicular t, que passa por Q. Em virtude do corolário 2 acima, as retas s e t são paralelas ou
coincidentes. Portanto também temos um método para construção de retas paralelas.
O ponto P’, como obtido na demonstração anterior é dito “reflexo” de P, relativamente à reta r. Portanto, a
partir de um plano α e de uma reta r, nele contida, podemos definir a transformação do plano α , por Fr (P) =
P’, Fr é a “transformação do plano α ” por uma reflexão, relativamente a uma reta r, de α .
Essa transformação é simples de ser entendida geometricamente. Para isso, imaginemos um ponto P
qualquer no plano α , o qual contém a reta r. o seu reflexo P = Fr(P) pode ser obtido, traçando-se a reta s
perpendicular a r, que passa em P, em seguida o ponto P’ é escolhido, em s, de modo que AP = AP’, onde A é o
ponto de interseção das retas r e s. Esse ponto A é o pé da perpendicular. Dentre propriedades da reflexão Fr, a
preservação da distância é uma das mais importantes. Ela será apresentada abaixo, como mais um teorema, nesta
unidade.
Essa demonstração não é valida quando PQ é paralelo à reta r. Como você o demonstraria nesse caso?
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