Disciplina: Fundamentos da Geometria Euclidiana - UFPB Virtual

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Unidade IV: O Teorema do Ângulo Externo e Consequências 1. - Situando a Temática Nesta unidade, o teorema do ângulo externo não é apresentado como na grande maioria dos textos do Ensino Básico; ao invés de uma igualdade, usaremos uma desigualdade Geométrica. Dentre as consequências aqui apresentadas, destacam-se a existência e unicidade da perpendicular a uma reta r, por um ponto P, fora dela, e a desigualdade triangular. Definição 1: Dado um triângulo ABC, ao prolongarmos, a partir de cada vértice, as semi-retas SAB, SBC e SCA, obtemos três ângulos, cada um dos quais é o suplemento de um dos ângulos internos. Cada um deles é dito “ângulo externo” do triângulo ABC conforme ilustrado na figura abaixo: Teorema 1: (Teorema do Ângulo Externo) Qualquer ângulo externo de um triângulo é maior do que os dois ângulos internos que não lhe são adjacentes. Demonstração Sejam ABC um triângulo e B BC ˆ ' um dos seus três ângulos externos, conforme ilustra a figura ao lado. Gostaríamos de mostrar que B' Bˆ C > Cˆ e B' Bˆ C > Aˆ . Primeiramente vamos marcar um ponto D, em BC, de modo que BD = DC (D é o ponto médio do segmento BC). Em seguida, prolonguemos a semi-reta SAD até um ponto E, de modo que D seja ponto médio de AE. Liguemos agora os pontos B e E e comparemos os triângulos ADC e EDB. Note que: BD = DC, pois D é ponto médio de BC, CDˆ A = BDˆ E , pois são ângulos opostos pelo vértice e AD = DE, por construção. Dai, segue-se que os triângulos ADC e EDB são congruentes e portanto, em particular, obtemos que EBˆ D = Cˆ . Como a semi-reta SBE divide o ângulo B BC ˆ ' , decorre que B BC ˆ ' > EBˆ D = Cˆ . Usando uma construção análoga, mostra-se que B' Bˆ C > Aˆ . Isto conclui a demonstração. Teorema 2: A soma das medidas de dois ângulos internos quaisquer de um triângulo, é menor do que 180°. Demonstração Seja ABC um triângulo. Escolhamos, por exemplo, os ângulos internos Â e Bˆ . Gostaríamos de mostrar que α + β < 180° , conforme figura ao lado. Pelo Teorema do ângulo externo, obtemos que α ' > β , somando α a ambos os membros da desigualdade acima, segue-se que α ' + α > α + β , ou seja: 150
180 ° > α + β , já que α '+ α = 180° . Portanto α + β < 180° . Isto conclui a demonstração. Corolário 1: Em qualquer triângulo, existem pelo menos dois ângulos internos agudos. Demonstração Suponha, por absurdo, que em um triângulo ABC, quaisquer dois ângulos internos, por exemplo Â e B ˆ , não sejam agudos, isto é, cada um deles mede mais do que 90°, dai, a soma das medidas dos dois ângulos internos Â e B ˆ é maior do que 180°. Isto é absurdo pois contradiz o teorema anterior. Portanto não podemos ter em um triângulo ABC, dois ângulos internos, cada um deles medindo mais do que 90°. Concluímos então que em qualquer triângulo ABC, existem pelo menos dois ângulos internos, cuja medida de cada um deles é menos de 90°. Isto conclui a demonstração. Corolário 2 Se duas retas r e s são perpendiculares a uma terceira reta t, então r e s não tem ponto em comum. Demonstração Sejam dadas uma reta t e outras duas retas distintas r e s, perpendiculares a t, nos pontos A e B, respectivamente, conforme ilustra figura ao lado. Gostaríamos de mostrar que r e s não têm ponto em comum, ou seja, r e s são paralelas. Para isso, suponha por absurdo, que r e s se interceptassem em um ponto P. Neste caso, teríamos um triângulo ABP com dois ângulos retos. Já sabemos, pelo corolário 1, que isso é impossível! Portanto o ponto P, como descrito acima, não existe. Concluímos então que as retas r e s são paralelas, o que equivale dizer que não têm ponto em comum. Isto conclui a demonstração. Teorema 3: Por um ponto P, fora de uma reta r, passa uma única reta s, perpendicular à reta r. Demonstração Primeiro mostraremos que existe a reta s, como descrita no teorema, em seguida mostraremos a unicidade. Existência Considere a reta r e o ponto P, fora dela, como ilustrado na figura ao lado. Em seguida, escolha dois pontos distintos A e B, em r. Trace agora o segmento PA, caso a reta que contém PA seja perpendicular a r, fica provada a existência. Caso isso não ocorra, considere, no semiplano que não contém P, uma semi-reta com origem A, formando com a semi-reta SAB, um ângulo congruente a PAB ˆ . Na semi-reta com origem A, escolha um ponto P’ tal que AP’ = AP (ver figura). Afirmação: O segmento PP’ é perpendicular a r. De fato, pois o triângulo PAP’ é isósceles, já que AP’ = AP (por construção). Como PÂB = P’ÂB também por construção, segue-se que a reta r contém a bissetriz do ângulo PÂP’, no triângulo isósceles PAP’, cuja base é PP’. Como já provamos, no teorema 4 da unidade 3, que essa bissetriz é perpendicular à base, concluímos que a reta s, que passa por P e P’, é perpendicular a r. Isto conclui a demonstração da existência. Unicidade Suponha que existissem duas retas s e s’, ambas passando por P e perpendiculares a r, conforme ilustra figura ao lado. 151
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