Disciplina: Fundamentos da Geometria Euclidiana - UFPB Virtual

Unidade V: Paralelismo
1. - Situando a Temática
Em Geometria, o significado do termo “paralelo” é de imensa importância. Foi justamente no 5°
postulado (ou 5° axioma), o qual é apresentado na grande maioria dos textos de Ensino Básico, bem
resumido, mas naturalmente de forma equivalente ao enunciado original proposto por Euclides, da seguinte
forma:
“Por um ponto P, fora de uma reta r, é possível traçar uma única reta s, paralela a r”.
Como notamos, nesse postulado, o conceito de paralelismo, no caso, entre duas retas, é de fundamental
importância. É claro que o conceito de paralelismo não se restringe apenas ao caso de duas retas, mas é aí
que está a essência do significado de paralelismo, em Geometria.γ
Na unidade IV, mostramos um método a partir do qual é possível construir retas paralelas. Isto justifica a
existência delas, lá no plano. No entanto, no 5° postulado, além da existência, a questão da unicidade
também é determinante no modelo de Geometria a ser construído. Só a título de curiosidade, imaginemos
que o “universo” seja a “superfície de uma esfera”, cujo centro é o ponto 0 e o raio é r > 0 . Já imaginou?
Pois bem, pensando assim, vamos imaginar agora, um ponto P sobre essa superfície, a qual podemos pensar
com se fosse a “casca do planeta Terra”, caso a Terra fosse modelada como uma esfera perfeita, é claro! A
situação que apresentamos é a seguinte:
Considerando o ponto P, como sendo o “pólo Norte” e deslocando-o,
sempre sobre a superfície e seguindo uma direção “retilínea”, rumo ao
“pólo Sul”, o movimento vai descrever uma “curva”, que voltará para o
mesmo ponto de partida, após uma volta completa, em torno do centro da
esfera. Essa curva está contida em um plano α , e tem a forma de uma
circunferência de raio r > 0, já que este é o raio da esfera, conforme
ilustra a figura ao lado.
Essa curva, em Matemática, é denominada “grande círculo” da esfera. Já em Geografia, por exemplo, ela
é conhecida como um Meridiano. Particularmente, por uma questão de simplicidade, dentre os infinitos
meridianos que tem o planeta Terra, suponhamos que esse desenhado na figura, seja o Meridiano de
Greenwich, o qual divide a Terra, em Oriente e Ocidente, ou equivalentemente, hemisférios direito e
esquerdo, respectivamente. Em termos de pontos cardeais, Oriente é o Leste e Ocidente, o Oeste”.
Consideremos agora outros dois grandes círculos sobre a esfera, um situado no plano γ , o qual é um
outro meridiano, passando em P e que divide a esfera, nos hemisférios da frente e de trás; o outro, situado no
plano β , o qual divide a esfera, nos hemisférios norte e sul, respectivamente, acima e abaixo. Esse grande
círculo, em Geografia, é denominado “Equador terrestre”, ver figura.
Observe que esses três grandes círculos juntos, dividem a esfera em “oito partes iguais”. Imaginando
agora apenas a superfície da esfera, note que os oito pedaços iguais têm forma “triangular”. Na próxima
figura, representaremos o “triângulo” EPQ, cujos lados são os arcos de circunferência de raio r, cada um
deles correspondendo à quarta parte da circunferência inteira. As medidas dos ângulos, nos vértices E,P e Q,
são definidas como as medidas dos ângulos entre os dois arcos, em cada um dos pontos; por exemplo, em E,
esse ângulo mede 90°. Pois, o ângulo entre os dois arcos, em E, é medido a partir do ângulo entre as “retas
tangentes” aos arcos que estão nos planos α e β . Essas duas retas tangentes, em E, são perpendiculares,
portanto o ângulo em E, é reto. A mesma medida têm os ângulos em P e Q. Portanto cada um dos três
ângulos internos, do “triângulo esférico” EPQ, é reto, e assim esse triângulo não é euclidiano, pois já
mostramos a consequência do teorema do ângulo externo: “Em qualquer triângulo, é impossível dois ângulos
internos retos”, além disso mostraremos, nessa unidade, que a soma das medidas dos três ângulos internos,
de qualquer triângulo, é 180°, na Geometria euclidiana.
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