Disciplina: Fundamentos da Geometria Euclidiana - UFPB Virtual

Ampliando o seu conhecimento...
Apresentamos ao lado a ilustração da porteira de uma fazenda,
construída com cinco traves de madeira, presas entre si. O que aconteceria
com a rigidez dessa porteira, caso não existisse a trave da diagonal?
Uma outra situação interessante, a qual também mostra a importância
dos casos de congruência de triângulos, é ilustrada na figura ao lado; onde
temos uma planície com uma região pantanosa, na qual gostaríamos de fazer
medições, sem ter acesso ao pântano, sendo possível fazer medições fora dele.
Como calcular a distância de A até B?
O procedimento para o cálculo da distância de A até B é o seguinte:
1° Passo
Nas retas r e s, a partir do ponto C, marque os pontos D e E, respectivamente nas retas r e s, de modo
que AC = CD e BC = CE.
2° Passo
Ligue os pontos D e E por um segmento de reta para obter o triângulo CDE
3° Passo
Compare os triângulos CDE e CBA. Para isso, note que AC = CD (por construção), ACˆ
D = ECˆ
D
(ângulos opostos pelo vértice) e BC = CE (por construção). Destas congruências, segue-se pelo caso LAL,
que os triângulos CDE e CBA são congruentes.
4° Passo
Esse caso de congruência de triângulo LLL, pode ser interpretado a partir da seguinte
situação prática:
Dadas as três medidas dos lados de um triângulo, quaisquer desenhos desse triângulo em
uma folha de papel, após recortados, superpõem-se uns aos outros. Isso significa que as medidas
dos três lados, amarram as medidas dos três ângulos internos. Só o triângulo tem essa
característica, dentre todos os polígonos. Esta é possivelmente a propriedade mais interessante
do triângulo, por isso o 3° caso também é conhecido como “Rigidez do Triângulo”. Há muitas e
belas aplicações desse fato em projetos de estruturas, particularmente em Engenharia Civil.
Da congruência obtida no 3° passo, obtemos em particular, que os lados DE e BA são homólogos (ou
correspondentes), por serem opostos a ângulos congruentes. Portanto DE e BA são congruentes.
Conclusão: A distância de A até B é igual à distância de D até E, a qual é possível ser medida fora do
pântano.
Mais uma situação, cuja origem também está no dia-a-dia, começa quando nos olhamos diante de um
espelho (plano!), e percebemos que “nossas medidas”, lá na imagem, devem ser iguais, ou melhor dizendo,
são iguais as nossas medidas reais... Podemos, a partir dessa situação, elaborar o seguinte problema:
Imagine que um espelho plano seja representado por uma reta r, e que os pontos A e B, refletidos nesse
espelho, tenham como respectivas imagens, A’ e B’. Gostaríamos de mostrar que as medidas dos segmentos
AB e A’B’ são iguais. Esse problema será resolvido na Unidade IV.
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