Disciplina: Fundamentos da Geometria Euclidiana - UFPB Virtual

Definição 5: - Ângulo Central AVB ˆ
Dados uma circunferência e um ponto V, sobre ela, o ângulo determinado pelas
semi-retas SVA e SVB, onde A e B são pontos distintos da mesma circunferência, é
denominado “ângulo inscrito”.
O teorema seguinte nos mostra como medir um ângulo inscrito em uma circunferência, a partir da medida
do arco que lhe é correspondente.
Teorema 5:
Observação
O arco contido no “interior do ângulo” é dito arco correspondente ao ângulo inscrito e AVB ˆ também pode
ser chamado de ângulo inscrito que subtende o arco.
A medida de um ângulo inscrito em uma circunferência é igual à metade da medida do arco que lhe é
correspondente.
Demonstração
Temos três casos a considerar.
1° Caso: Um dos lados do ângulo contém um diâmetro, conforme ilustra a figura
ao lado.
Seja VA um diâmetro. Neste caso, primeiro tracemos o raio OB (ver figura).
Seja β a medida do ângulo central AOB ˆ . Como OV também é um raio, OVB é
um triângulo isósceles, e daí OVˆ
B = OBˆ
V . Portanto, pelo teorema do ângulo
externo, segue-se que β = α + α , donde obtemos que
demonstração desse caso.
2° Caso: Nenhum dos lados do ângulo contém um diâmetro, de acordo com a figura a cima.
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β
α = . Isto conclui a
2
Nesse caso, primeiro tracemos um diâmetro VD (ver figura). Em seguida considere α 1 e α 2 como
medidas dos ângulos inscritos AVˆ
D e DVˆ
B . Trace agora os raios OA e OB, a partir dos quais temos os
ângulos centrais AOˆ
D e DOˆ
B , cujas medidas são, respectivamente, β1 e β2
conforme a figura. Como
β1
β 2
consequência, obtemos a partir do 1° caso, que α 1 = e α 2 = . Somando essas duas igualdades,
2 2
β1
β2
β1
+ β 2
obtemos que α1
+ α 2 = + = . Mas α 1 + α 2 e a medida do ângulo inscrito AVB 2 2 2
ˆ enquanto
β 1 + β2
é a medida do arco que subtende AVB ˆ . Concluímos então, que também nesse caso, a medida do
ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco que lhe é correspondente.
3° Caso: Nenhum dos lados do ângulo contém um diâmetro, de acordo com a figura abaixo.