Disciplina: Fundamentos da Geometria Euclidiana - UFPB Virtual

Teorema 15:
Sejam r1, r2, ... e rn, n ≥ 3 , retas paralelas cortadas por duas transversais t1 e t2, em pontos R1, R2, ... , Rn e
R’1, R’2, ... , R’n, respectivamente. Se Rj está entre R’j – 1 e R’j + 1, em t1, então R’j está entre R’j – 1 e R’j + 1, em
t2, isto para j = 2, 3, ... ,n. Além disso, se R1 R2 = R2 R3 = ... = Rn – 1 Rn, então R’1 R’2 = R’2 R’3 = ... = R’n – 1
Rn.
Teorema 16:
Se uma reta r é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois lados, então ela divide
esses lados na mesma razão.
ou [2].
O leitor mais curioso pode pesquisar a demonstração deste teorema, nas referências bibliográficas [1]
A razão pela qual não apresentamos aqui a demonstração desse
teorema é que, além da necessidade de utilização do conceito de “Limite”,
também necessitamos de usar fatos além do nível e objetivos aqui
almejados. Porém, é importante ressaltar que, além de muito importante,
trata-se de um belíssimo exemplo de demonstração matemática.
Apresentamos ao lado, apenas uma ilustração geométrica do teorema.
é verdadeira.
Teorema 17:
Nesse caso, temos que
AP AQ
= . Apresentaremos a seguir, a recíproca do teorema anterior, a qual
AB AC
Se uma reta r intercepta dois lados de um triângulo, dividindo-os na mesma razão, então ela é paralela ao
terceiro lado.
Demonstração
Sejam ABC um triângulo qualquer e r uma reta que intercepta os
lados AB e AC nos pontos P e Q, respectivamente. Vamos mostrar que,
AP AQ
se = , então r é paralela ao lado BC. Para isso, suponhamos
AB
AC
por absurdo, que r não seja paralela a BC. Nesse caso, tracemos pelo
ponto P a reta s, paralela a BC e interceptando o lado AC em um ponto
R, conforme ilustra a figura ao lado.
AP AR
Segue-se agora, pelo teorema anterior, que = , donde obtemos que AR
AB AC
AP
=
AB
⋅ AC , mas
AP AQ
da igualdade = , apresentada na hipótese inicial, decorre que AQ
AB AC
AP
=
AB
⋅ AC . Portanto
AR = AQ , assim os pontos R e Q coincidem. Daí, as retas r e s também coincidem e, portanto, r é paralela a
BC, uma vez que s também o é. Isto conclui a demonstração.
Chegamos finalmente agora ao teorema de Tales, sobre um feixe de paralelas cortadas por duas
transversais.
Teorema 18: (Tales)
Se um feixe de retas paralelas r1, r2, ... rn, ( n ≥ 3)
é cortado por duas transversais t1 e t2, então a razão entre
as medidas dos comprimentos, de quaisquer dois segmentos determinados em t1, é igual a razão entre as
medidas dos comprimentos dos segmentos correspondentes, determinados na reta t2.
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