Disciplina: Fundamentos da Geometria Euclidiana - UFPB Virtual

DE EF
HE. Usando agora o teorema 16 da unidade V, no triângulo DEF, segue-se que = . Mas isto
HE EG
DE EF
equivale a dizer que = , pois já sabíamos que AB = HE e BC = EG. De modo inteiramente análogo,
AB BC
apenas com a reta r paralela ao lado EG, construímos uma “cópia” do triângulo ABC, de onde obtemos que
DE FD DE EF FD
= . Portanto = = . Isto mostra que os lados homólogos são proporcionais. Portanto
AB CA
AB BC CA
DEF ~ ABC e, como vale a simetria, concluímos que ABC ~ DEF. Como queríamos demonstrar.
Atividade de Desenho.
1° Parte
Desenhe, em uma folha de papel, um segmento de reta AB, cuja
medida seja 5 cm. Em seguida, a partir do ponto A trace uma semi-reta
SAP, formando com SAB um ângulo de 30°. Depois, a partir do ponto B,
trace uma semi-reta SBQ, formando um ângulo de 60°, de modo que os
pontos P e Q estejam em um mesmo semiplano, determinado pela reta
suporte de AB. Estas duas semi-retas SAP e SBQ se cruzam em um ponto C,
formando um triângulo ABC, conforme ilustra a figura ao lado.
2° Parte
Repita o procedimento descrito na 1° parte, apenas trocando a medida do segmento de 5cm para 10cm.
Construa então um outro triângulo DEF.
3° Parte
Conclua que ABC ~ DEF e justifique
4° Parte
Recorte com a maior precisão que lhe for possível, os dois pedaços de papel, cujos contornos são os
triângulos ABC e DEF.
5° Parte
Verifique que Cˆ = Fˆ
DE EF FD
(são ângulos retos) e = = = 2
AB BC CA
Conclusão:
O 1° caso de semelhança de triângulos nos permite construir triângulos semelhantes a partir de dois
ângulos internos e do lado compreendido entre eles.
Teorema 2 (2° caso de semelhança de triângulos)
Se em dois triângulos ABC e DEF temos
Demonstração
AB AC
A = D e =
DE DF
ˆ ˆ , então ABC é semelhante a DEF.
AB AC
Sejam ABC e DEF dois triângulos tais que A = D e =
DE DF
ˆ ˆ . Suponhamos, sem perda de
generalidade, que BC > EF . Gostaríamos de mostrar que ABC ~ DEF. para isso marquemos os pontos G e
173
.