Disciplina: Fundamentos da Geometria Euclidiana - UFPB Virtual

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Teorema 2: Dialogando e construindo o seu conhecimento Se um triângulo é isósceles, então os ângulos da base são congruentes. Demonstração Seja ABC um triângulo isósceles, no qual AB = AC. Gostaríamos de mostrar que B Cˆ ˆ = . Para isso, consideremos duas cópias do triângulo, conforme a figura abaixo. Ao estabelecermos a correspondência biunívoca A ↔ A, B ↔ C e C ↔ B , obtemos que ABC = ACB, pois AB = AC e AC = AB, por hipótese, enquanto BAˆ C = CAˆ B = Aˆ , já que qualquer ângulo é igual a si próprio. A congruência dos triângulos ABC e ACB decorre do caso LAL. Finalmente, como na correspondência biunívoca estabelecida acima, temos B ↔ C . Decorre dai, que B Cˆ ˆ = , como queríamos demonstrar. Teorema 3: Se um triângulo ABC tem dois ângulos congruentes, então ele é isósceles. Demonstração É importante notar que um triângulo com os três lados congruentes (equilátero), evidentemente tem dois lados congruentes, portanto é isósceles. Este argumento justifica a proposição. P: Se um triângulo é equilátero, então ele é isósceles. A recíproca da proposição P é Q: Se um triângulo é isósceles, então ele é equilátero. Enquanto P é verdadeira, Q é falsa. Pois o triângulo pode ter dois lados congruentes, sem que o terceiro lado seja congruente a nenhum dos outros dois. Na linguagem da lógica simbólica, podemos então concluir que, as proposições “um triângulo é isósceles” e “um triângulo é equilátero”, não são equivalentes. Considere um triângulo ABC, no qual B Cˆ ˆ = . Gostaríamos de mostrar que AB = AC. Para isso, consideremos as duas cópias do triângulo e a correspondência biunívoca, como na demonstração do teorema 2 acima. Como B Cˆ ˆ = e C Bˆ ˆ = , segue-se pelo caso ALA, que a correspondência biunívoca A↔ A, B ↔ C e C ↔ A nos garante a congruência dos triângulos ABC e CAB, dai decorre particularmente que AB = AC, como queríamos demonstrar. 146
Teorema 4: Se um triângulo é isósceles, então a mediana relativa à base também é bissetriz e altura. Demonstração Sejam ABC um triângulo isósceles de base BC e AD sua mediana relativa à base. Gostaríamos de mostrar que BAˆ D = CAˆ D e ADˆ C é um ângulo reto. Para isso, considere os triângulos CDA e BDA, conforme ilustrado na figura ao lado. Ao observarmos os triângulos CDA e BDA, notemos que: i. AB = AC, pois ABC é isósceles com base BC. ii. B Cˆ ˆ = , conforme provado no teorema 3. iii. BD = DC, pois, por hipótese, AD é mediana. De (i), (ii) e (iii), segue-se pelo caso LAL, que CDA = BDA, portanto, dessa congruência decorre que BAˆ D = CAˆ D , isto significa que AD é bissetriz do ângulo Â. Da mesma congruência também decorre que CDˆ A = BDˆ A . Como C Dˆ A + BDˆ A = 180° , obtemos que C Dˆ A= BDˆ A = 90° , como queríamos demonstrar. Teorema 5: (3° caso: LLL) Se, em dois triângulos ABC e DEF, temos AB = DE, BC = EF e CA = FD, então ABC = DEF. Demonstração Sejam ABC e DEF dois triângulos tais que AB = DE, BC = EF e CA = FD. Gostaríamos de mostrar que ABC = DEF. Para isso, construa a partir do vértice A, um segmento de reta AG = DF tal que o ângulo GAˆ B = Dˆ . Em seguida ligue G a B, para obter o triângulo AGB, conforme ilustrado na figura abaixo. O ponto G é escolhido de modo que os pontos G e C fiquem em semiplanos distintos, os quais têm em comum a reta que passa pelos pontos A e B. Observemos agora que AG = DF = AC e GB = EF = BC, portanto os triângulos AGC e BGC são isósceles com base comum CG. Dai, segue-se que AGˆ C = ACˆ G e BGˆ C = BCˆ G , portanto AGˆ C + BGˆ C = ACˆ G + BCˆ G e esta igualdade equivale a dizer que G Cˆ ˆ = , esse fato, juntamente com AG = AC e GB = BC nos garante, pelo caso LAL, que os triângulos ABG e ABC são congruentes. Como já mostramos que ABG e DEF são congruentes, segue-se que ABC e DEF também são congruentes (note que, nessa conclusão final, usamos o fato de que “dois triângulos que são congruentes a um terceiro, também são congruentes entre si”). Isto conclui a demonstração do Teorema. 147
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