Disciplina: Fundamentos da Geometria Euclidiana - UFPB Virtual

Justificativa
Como ABC ~ DEF, segue-se que os lados BC e EF, respectivamente, dos triângulos ABC e DEF, são
homólogos. Foram traçadas as alturas relativas aos lados BC e EF (ver figura). Gostaríamos então de mostrar
BC AP
que = . Para isso, vamos comparar os triângulos ABP e DEQ. Temos Bˆ = Eˆ
, pois ABC ~ DEF,
EF DQ
também APˆ
B = DQˆ
E , pois são ângulos retos, já que AP e DQ são alturas. Decorre então, pelo 1° caso de
semelhança de triângulos, que ABP ~ DEQ. Dai, obtemos que a razão entre as medidas, dos lados homólogos
AB BP AP AB BC CA
é constante, ou seja, = = . Mas = = . Segue-se dessas duas proporções que
DE EQ DQ DE EF FD
BC AP
= . Isto completa a justificativa.
EF DQ
AB BC CA
Ainda com relação ao exemplo 1, digamos que = = = K , ou seja, a constante de semelhança é
DE EF FD
igual a K. Neste caso, qual é a relação entre a área do triângulo ABC e a área do triângulo DEF? E a relação
entre os perímetros? Vamos calcular a razão entre as áreas. Temos que a área de um triângulo qualquer é
igual à metade do produto das medidas de qualquer um de seus lados e da altura relativa a esse lado. No caso
1
BC.
AP
Área de ABC
2
em questão, temos.
2
⎛ BC ⎞ ⎛ AP ⎞
= = ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ = K . K = K
Área de DEF 1
⎜
EF . DQ
EF ⎟ ⎜ DQ ⎟
. Portanto a relação entre
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
as áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança. Para determinar a relação entre os perímetros,
sugerimos a utilização de propriedades das proporções. Isto fica como desafio para o leitor.
(2) Medição de alturas “inatingíveis”
Para medir a altura da maior pirâmide da cidade de Gizé, no antigo Egito, conta-se que no século VI
a.C. Tales (de Mileto), quando estava em viagem comercial ao Egito, teria recebido do Faraó a tarefa de
medir a altura da Pirâmide de Quéops (150m, ou equivalente à altura de um prédio com 50 andares). Em se
tratando de um monumento de tamanhas proporções, um procedimento utilizável à época estava longe de ser
mais simples do que foi proposto pela genialidade de Tales. Para medir a altura da pirâmide reta, de base
quadrada e situada em um plano, Tales se valeu do “paralelismo dos raios do sol” que chegam à Terra. Ele se
utilizou do conhecimento matemático, particularmente sobre semelhança de triângulos, para calcular
“medidas de difícil acesso”, no caso, a altura da pirâmide. Foram feitos medições de uma vareta retilínea e
das “sombras” da vareta e da pirâmide, sobre um plano horizontal. A medida do lado quadrado da base é
conhecida. Na ilustração apresentada na figura seguinte, apresentamos um esboço dos triângulos semelhantes,
utilizados por Tales.
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