Disciplina: Fundamentos da Geometria Euclidiana - UFPB Virtual

mediatriz de AB) e OM = OM (lado comum). Dai obtemos que OAM = OBM. Como consequência disso,
segue-se que OA = OB . Ao compararmos agora os triângulos OBN e OCN, obtemos analogamente que são
congruentes. Como consequência disso, segue-se que OB = OC . Portanto OA = OB = OC e os pontos A, B
e C, são equidistantes do ponto O. Dai, decorre que A, B e C pertencem à circunferência de centro O, cujo
raio tem a mesma medida de OA (ver figura). Isto conclui a demonstração.
Teorema 9:
Refletindo...
Se três pontos não estão em linha reta, então passa uma circunferência por eles.
A demonstração é uma consequência imediata do Teorema 8, ou seja, o Teorema 9 é corolário do
anterior, uma vez que três pontos não alinhados (ou não colineares) sempre determinam um triângulo.
Apresentamos abaixo mais uma consequência do Teorema 8.
Teorema 10:
As mediatrizes dos três lados de um triângulo se cruzam em único ponto.
Demonstração
Sejam ABC um triângulo qualquer e r, s e t as retas
correspondentes às mediatrizes dos lados AB, BC e CA,
respectivamente. Gostaríamos de mostrar que existe um único
ponto P tal que r ∩ s ∩ t = { P}
. Para isso, observemos
inicialmente que duas dessas mediatrizes não podem ser paralelas.
Consideremos r e s as mediatrizes de AB e AC, respectivamente, e
vamos admitir que r seja paralela a s. Como elas são
perpendiculares, respectivamente, aos lados AB e AC, teríamos
necessariamente esses lados paralelos. Isto é absurdo. Logo existe
um ponto P comum às retas r e s, conforme ilustra a figura ao lado.
Para concluir a demonstração, utilizaremos agora o seguinte fato: “qualquer ponto está sobre a mediatriz
de um segmento AB se, e só se, ele é equidistante dos extremos”. Utilizando este fato, obtemos que
PA = PB , pois P está na mediatriz de AB. Obtemos também que PB = PC , pois P está na mediatriz de BC.
Como consequência de PA = PB e PB = PC , decorre que PA = PC . Concluímos então que P está na
mediatriz de CA, ou seja r s ∩ t = { P}
Nesta demonstração, utilizamos o fato de que as duas mediatrizes, de quaisquer dois
lados, de um triângulo qualquer, interceptam-se em um ponto. Na verdade, vamos mostrar a
seguir que, as três mediatrizes dos lados, de qualquer triângulo, interceptam-se em um único
ponto O. Foi necessário também utilizarmos uma propriedade da mediatriz, de qualquer
segmento de reta, exatamente aquela que diz: “todo ponto sobre a reta mediatriz, de qualquer
segmento de reta, é equidistante dos seus extremos”.
O ponto O, encontro das mediatrizes dos lados de um triângulo qualquer, é denominado
“circuncentro”, ou seja, O é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. Também
dizemos, equivalentemente, que o triângulo está inscrito na circunferência.
∩ . Isto conclui a demonstração.
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