Disciplina: Fundamentos da Geometria Euclidiana - UFPB Virtual

concluímos que ABC = CDA, pelo caso de congruência de triângulos LLL. Dai, decorre que BCˆ
A = DAˆ
C ,
mas DAˆ
C = EAˆ
F (opostos pelo vértice), portanto BCˆ
A = EAˆ
F . Logo, a transversal v determina um par de
ângulos correspondentes congruentes, relativamente às retas t e u. Também decorre, da congruência dos
triângulos, que DCˆ
A = BAˆ
C . Logo, a transversal v determina um par de ângulos correspondentes
congruentes, relativamente às retas r e s. Podemos então concluir que t é paralela a u, bem como r é paralela
a s. Portanto ABCD é um paralelogramo. Isto conclui a demonstração.
Teorema 12:
Se dois lados opostos de um quadrilátero ABCD são congruentes e paralelos, então ABCD é um
paralelogramo.
Demonstração
Sejam r e s as retas suportes dos lados AB e CD, de um
quadrilátero ABCD com AB = CD e r paralelo a s. gostaríamos de
mostrar que ABCD é um paralelogramo. Para isso, tracemos a diagonal
AC e sua reta suporte v, conforme ilustra a figura ao lado.
Consideremos agora as retas suporte t e u, dos lados AD e BC, respectivamente. Vamos comparar os
triângulos ABC e CDA. Como r é paralela a s, por hipótese, a transversal v, a essas retas forma os ângulos
correspondentes ACD ˆ e EÂF, os quais são congruentes, ou seja, ACˆ
D = EAˆ
F . Como EAˆ
F = CAˆ
B
(opostos pelo vértice), segue-se que ACˆ
D = CAˆ
B . Como AB = CD, também por hipótese. Alem disso,
AC = AC (lado comum). Dai, decorre do caso LAL, de congruência de triângulos, que ABC = CDA. Como
consequência disso, obtemos em particular que CAˆ
D = ACˆ
B , mas CÂD = EÂF (opostos pelo vértice) e
portanto EAˆ
F = ACˆ
B . Assim as retas t e u são paralelas, pois determinam, juntamente com a transversal v,
o par de ângulos correspondentes EÂF e ACB ˆ , os quais são congruentes. Concluímos então que o
quadrilátero ABCD tem os dois pares de lados opostos paralelos, ou seja, é um paralelogramo. Isto conclui a
demonstração.
Teorema 13:
Se ABC é um triângulo e M, N são pontos médios dos lados AC e BC, respectivamente, então o segmento NM
1
é paralelo a AB e NM = AB .
2
Demonstração
Sejam ABC um triângulo e M, N os pontos médios dos lados AB
e AC, respectivamente. Gostaríamos de mostrar que MN é paralelo a AB
1
NM = AB . Para isso, prolongue a semi-reta SNM até o ponto P tal que
2
NM = MP, em seguida trace o segmento de reta AP, conforme ilustra a
figura ao lado.
Vamos comparar agora os triângulos APM e CNM. Temos que CM = AM, pois M, por hipótese, é
ponto médio de AC; CMˆ
N = AMˆ
P , pois são ângulos opostos pelo vértice e NM = MP, por construção. Dai,
pelo caso de congruência LAL, segue-se que APM = CNM. Dai, decorre que CNˆ
M = APˆ
M , e como
consequência disso, as retas determinadas por AP e BN, cortadas pela transversal determinada por MN,
formam um par de ângulos correspondentes congruentes. Portanto AP e BN são paralelas. Como BN = NC,
pois N, por hipótese, é ponto médio de BC e AP = BN. Temos, portanto, no quadrilátero ABNP dois lados
opostos paralelos e congruentes. Segue-se então, do teorema 12, que ABNN é um paralelogramo. Dai, NM é
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