Disciplina: Fundamentos da Geometria Euclidiana - UFPB Virtual

Definição 3:
Quando uma reta e uma circunferência têm em comum apenas um ponto P, dizemos que a reta tangencia a
circunferência em P. ela é dita “reta tangente” e P é o “ponto de tangência” ou “ponto de contacto”.
As demonstrações dos teoremas 2 e 3, apresentados a seguir, podem ser pesquisadas na referência
bibliográfica [1].
Teorema 2:
Se uma reta é tangente a uma circunferência, então ela é perpendicular ao raio que liga o centro ao ponto de
tangência.
Teorema 3:
Se uma reta é perpendicular a um raio, em um ponto P de uma circunferência, então essa reta tangencia a
circunferência no ponto P.
Definição 4:
Quando uma corda AB, de uma circunferência com centro no ponto O, não é um
diâmetro, o ângulo AOB ˆ é denominado ângulo central, conforme ilustra a figura ao
lado.
Teorema 4:
Cordas congruentes determinam ângulos centrais congruentes em uma mesma circunferência, ou em
circunferências de mesmo raio.
Demonstração
Observação
A medida, em graus, correspondente ao arco menor, determinado pelos pontos A e B da circunferência, é
por definição, a medida α , em graus, do ângulo central AOB ˆ . Como esse arco é sempre menor do que uma
semicircunferência, sua medida é tal que 0° < α < 180°
. Os casos extremos correspondentes a
α = 0° e α = 180°
são, respectivamente, ângulos nulo e raso.
Faremos a demonstração para o caso de uma mesma circunferência. O caso em
que temos mais de uma circunferência, a demonstração é análoga e deixamos para o
leitor.
Considere então uma circunferência de centro O e as cordas congruentes AB e
CD, conforme ilustra a figura abaixo. Gostaríamos de mostrar que os ângulos centrais
AOB ˆ e COD ˆ são congruentes. Para isso, compare os triângulos AOB e COD,
conforme figura ao lado.
Nesses triângulos, temos que AO = OD (são raios), OB = OC (são raios) e AB = CD (por hipótese). Dai,
segue-se pelo caso LLL de congruência de triângulos que AOB = COD. Portanto obtemos como consequência
dessa congruência, em particular, que α = β , ou seja, os ângulos centrais AOˆ
B e COˆ
D são congruentes.
Isto conclui a demonstração.
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