Disciplina: Fundamentos da Geometria Euclidiana - UFPB Virtual

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Demonstração Consideremos um quadrilátero ABCD, determinado pelas retas r, s, t, e u, onde r e s são paralelas bem como t e u. Tracemos em seguida a diagonal AC, conforme ilustra a figura ao lado. Gostaríamos de mostrar que B Aˆ D = BCˆ D, ABˆ C = ADˆ C, AB = DC e BC = AD Vamos comparar os triângulos ABC e CDA. Para isso, note que CAˆ B = ACˆ D , pois a reta v, suporte da diagonal AC (ver figura), é transversal às paralelas r e s. Temos também que BCˆ A = CAˆ D , pois v é transversal às paralelas t e u, logo BCˆ A = EAˆ F . Mas o ângulo CÂD é oposto pelo vértice a EÂF, assim BCˆ A = EAˆ F = CAˆ D . Como AC = AC, pois é lado comum aos triângulos ABC e CDA. Concluímos agora pelo caso ALA, de congruência de triângulos, que ABC = CDA. Dai, decorre que: ABˆ C = ADˆ C, BAˆ C = DCˆ A e CAˆ D = BCˆ A Somando as duas ultimas igualdades, obtemos BAˆ C + CAˆ D = DCˆ A + BCˆ A , ou seja BAˆ D = BCˆ D . Com relação aos lados, obtemos AB = DC e BC = AD. Isto conclui a demonstração. Teorema 10: Se ABCD é um paralelogramo, então suas diagonais AC e BD se cruzam em um ponto M, com AM = MC e BM = MD. Demonstração Seja ABCD um paralelogramo, cujas diagonais são AC e BD. Caso as diagonais não se cruzassem em um ponto M, elas teriam retas suportes paralelas e, neste caso, a diagonal BD estaria inteiramente contida em um dos dois semiplanos determinados pela reta suporte da diagonal AC. Isto é absurdo! Portanto existe um ponto M, interseção das diagonais AC e BD. Resta-nos provar que M é ponto médio das duas diagonais, ver figura ao lado. Para isso, vamos comparar os triângulos AMB e CMD. Na demonstração do teorema 9, mostramos que AB = CD e CAˆ B = ACˆ D de modo análogo, mostrase que CDˆ B = ABˆ D . Portanto, segue-se do caso ALA, de congruência de triângulos, que AMB = CMD. Dai, decorre que AM = MC e BM = MD, pois são lados opostos a ângulos congruentes, nesses dois triângulos. Isto conclui a demonstração. Teorema 11: Se, em um quadrilátero ABCD, os lados opostos são congruentes, então ele é um paralelogramo. Demonstração Seja ABCD um quadrilátero e AC uma de suas diagonais, conforme ilustra a figura abaixo. Gostaríamos de mostrar que ABCD é um paralelogramo, ou seja, seus lados opostos são paralelos. Para isso, vamos comparar triângulos ABC e CDA. Sabemos, por hipótese, que AB = CD e BC = AD. Como AC = AC, pois temos esse lado comum aos dois triângulos, 164
concluímos que ABC = CDA, pelo caso de congruência de triângulos LLL. Dai, decorre que BCˆ A = DAˆ C , mas DAˆ C = EAˆ F (opostos pelo vértice), portanto BCˆ A = EAˆ F . Logo, a transversal v determina um par de ângulos correspondentes congruentes, relativamente às retas t e u. Também decorre, da congruência dos triângulos, que DCˆ A = BAˆ C . Logo, a transversal v determina um par de ângulos correspondentes congruentes, relativamente às retas r e s. Podemos então concluir que t é paralela a u, bem como r é paralela a s. Portanto ABCD é um paralelogramo. Isto conclui a demonstração. Teorema 12: Se dois lados opostos de um quadrilátero ABCD são congruentes e paralelos, então ABCD é um paralelogramo. Demonstração Sejam r e s as retas suportes dos lados AB e CD, de um quadrilátero ABCD com AB = CD e r paralelo a s. gostaríamos de mostrar que ABCD é um paralelogramo. Para isso, tracemos a diagonal AC e sua reta suporte v, conforme ilustra a figura ao lado. Consideremos agora as retas suporte t e u, dos lados AD e BC, respectivamente. Vamos comparar os triângulos ABC e CDA. Como r é paralela a s, por hipótese, a transversal v, a essas retas forma os ângulos correspondentes ACD ˆ e EÂF, os quais são congruentes, ou seja, ACˆ D = EAˆ F . Como EAˆ F = CAˆ B (opostos pelo vértice), segue-se que ACˆ D = CAˆ B . Como AB = CD, também por hipótese. Alem disso, AC = AC (lado comum). Dai, decorre do caso LAL, de congruência de triângulos, que ABC = CDA. Como consequência disso, obtemos em particular que CAˆ D = ACˆ B , mas CÂD = EÂF (opostos pelo vértice) e portanto EAˆ F = ACˆ B . Assim as retas t e u são paralelas, pois determinam, juntamente com a transversal v, o par de ângulos correspondentes EÂF e ACB ˆ , os quais são congruentes. Concluímos então que o quadrilátero ABCD tem os dois pares de lados opostos paralelos, ou seja, é um paralelogramo. Isto conclui a demonstração. Teorema 13: Se ABC é um triângulo e M, N são pontos médios dos lados AC e BC, respectivamente, então o segmento NM 1 é paralelo a AB e NM = AB . 2 Demonstração Sejam ABC um triângulo e M, N os pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente. Gostaríamos de mostrar que MN é paralelo a AB 1 NM = AB . Para isso, prolongue a semi-reta SNM até o ponto P tal que 2 NM = MP, em seguida trace o segmento de reta AP, conforme ilustra a figura ao lado. Vamos comparar agora os triângulos APM e CNM. Temos que CM = AM, pois M, por hipótese, é ponto médio de AC; CMˆ N = AMˆ P , pois são ângulos opostos pelo vértice e NM = MP, por construção. Dai, pelo caso de congruência LAL, segue-se que APM = CNM. Dai, decorre que CNˆ M = APˆ M , e como consequência disso, as retas determinadas por AP e BN, cortadas pela transversal determinada por MN, formam um par de ângulos correspondentes congruentes. Portanto AP e BN são paralelas. Como BN = NC, pois N, por hipótese, é ponto médio de BC e AP = BN. Temos, portanto, no quadrilátero ABNP dois lados opostos paralelos e congruentes. Segue-se então, do teorema 12, que ABNN é um paralelogramo. Dai, NM é 165
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