Disciplina: Fundamentos da Geometria Euclidiana - UFPB Virtual

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Definição 5: - Ângulo Central AVB ˆ Dados uma circunferência e um ponto V, sobre ela, o ângulo determinado pelas semi-retas SVA e SVB, onde A e B são pontos distintos da mesma circunferência, é denominado “ângulo inscrito”. O teorema seguinte nos mostra como medir um ângulo inscrito em uma circunferência, a partir da medida do arco que lhe é correspondente. Teorema 5: Observação O arco contido no “interior do ângulo” é dito arco correspondente ao ângulo inscrito e AVB ˆ também pode ser chamado de ângulo inscrito que subtende o arco. A medida de um ângulo inscrito em uma circunferência é igual à metade da medida do arco que lhe é correspondente. Demonstração Temos três casos a considerar. 1° Caso: Um dos lados do ângulo contém um diâmetro, conforme ilustra a figura ao lado. Seja VA um diâmetro. Neste caso, primeiro tracemos o raio OB (ver figura). Seja β a medida do ângulo central AOB ˆ . Como OV também é um raio, OVB é um triângulo isósceles, e daí OVˆ B = OBˆ V . Portanto, pelo teorema do ângulo externo, segue-se que β = α + α , donde obtemos que demonstração desse caso. 2° Caso: Nenhum dos lados do ângulo contém um diâmetro, de acordo com a figura a cima. 182 β α = . Isto conclui a 2 Nesse caso, primeiro tracemos um diâmetro VD (ver figura). Em seguida considere α 1 e α 2 como medidas dos ângulos inscritos AVˆ D e DVˆ B . Trace agora os raios OA e OB, a partir dos quais temos os ângulos centrais AOˆ D e DOˆ B , cujas medidas são, respectivamente, β1 e β2 conforme a figura. Como β1 β 2 consequência, obtemos a partir do 1° caso, que α 1 = e α 2 = . Somando essas duas igualdades, 2 2 β1 β2 β1 + β 2 obtemos que α1 + α 2 = + = . Mas α 1 + α 2 e a medida do ângulo inscrito AVB 2 2 2 ˆ enquanto β 1 + β2 é a medida do arco que subtende AVB ˆ . Concluímos então, que também nesse caso, a medida do ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco que lhe é correspondente. 3° Caso: Nenhum dos lados do ângulo contém um diâmetro, de acordo com a figura abaixo.
Neste caso, primeiro tracemos o diâmetro VD e os raios OA, OB conforme a figura. Agora é só aplicar o 1° caso aos ângulos inscritos AVˆ D e BVˆ D e obter o resultado desejado a partir de uma subtração. Deixamos os detalhes para o leitor. Teorema 6: Ângulos inscritos em uma mesma circunferência ou em circunferências de mesmo raio, os quais subtendem um mesmo arco, têm a mesma medida. Demonstração É imediato! Pois a medida do ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco que lhe é correspondente, de acordo com o teorema 5. Esses teoremas, obtidos como consequência imediata, são ditos corolários. Teorema 7: Refletindo... Um caso particular muito interessante e importante, ocorre quando o ângulo está inscrito em uma semicircunferência. Neste caso, o arco correspondente ao ângulo inscrito mede o mesmo que dois ângulos retos. Portanto a medida do ângulo inscrito é igual à metade da medida de dois ângulos retos, ou seja, 90°. Veja ilustração na figura abaixo. Os ângulos inscritos com vértices V1, V2 e V3, no caso geral, têm uma mesma medida. No caso particular, como os pontos A e B são extremos de um diâmetro, os triângulos AV1B, AV2B, AV3B são retângulos, com hipotenusa comum AB. Se AB e CD são cordas de uma mesma circunferência e interceptam-se em um ponto P, então PA . PB = PC . PD . 183
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