Disciplina: Fundamentos da Geometria Euclidiana - UFPB Virtual

Na figura abaixo, apresentamos uma ilustração geométrica do triângulo EPQ, sobre a superfície P
esférica de centro O e raio r > O.
Um fato muito importante e interessante, sobre uma superfície esférica, é que os grandes círculos
determinam as “circunferências máximas”, as quais fazem o mesmo papel das retas, no plano. Elas nos dão o
menor caminho de um ponto até outro. A demonstração desse fato foge ao nível do nosso curso, mas
esperamos que, mesmo que seja apelando para o lado lúdico, esse fato seja aceito. É justamente isso que
justifica as retas sobre a superfície de uma esfera com raio r > 0, e centro O, como as circunferências de
centro O e raio r (ou circunferências máximas). Com isso, mesmo que seja só brincando com pedaços de
cordão, colados em uma superfície esférica, de borracha ou isopor (por exemplo, uma bola de futebol). É
importantíssimo notar, que quaisquer duas retas (circunferências máximas) sempre se interceptam em dois
pontos. É um fato que, nessa “Geometria da esfera”, não vale o 5° postulado da Geometria euclidiana, pois
quaisquer duas retas têm um ponto em comum, ou seja, não são paralelas. Portanto, nessa Geometria não
existem retas paralelas.
Um outro tipo de situação, é aquela em que a unicidade no 5° postulado não se verifica, ou seja, “por um
ponto P, fora de uma reta r, passa mais de uma reta paralela a r”. Este é o novo postulado das paralelas,
nessa outra Geometria. Na Geometria da esfera, anteriormente apresentada, o enunciado do 5° postulado é
“Por um ponto P, fora de uma reta r, não passa nenhuma reta paralela a r”.
No mundo da Física Quântica, o modelo da Geometria euclidiana, apesar de resolver os problemas da
Mecânica Clássica Newtoniana, não resolve questões no nível de partículas subatômicas. Nesse nível, a
necessidade da utilização de um modelo de Geometria não-euclidiana é veemente. Portanto, temos aí
registrada, mais uma vez, a utilidade da Geometria, em situações-problema associadas a pesquisas
avançadas, em áreas da Física.
Dialogando e construindo o seu conhecimento
Apresentaremos agora, a partir da ilustração do “esqueleto de um cubo”, uma possibilidade
de duas retas não terem ponto em comum, a qual é impossível de ocorrer no plano, por ele ter
“dimensão 2”. São as “retas reversas”, as quais só ocorrem a partir da dimensão 3. Para isso,
observemos inicialmente, a ilustração na figura abaixo, a qual representa o esqueleto de um
cubo, mostrado a partir das suas doze arestas.
Note que as retas r e s, que contêm as arestas AB e FE não têm ponto comum, mas elas estão em
planos distintos, determinados pelas faces quadradas ABGF e ADEF. São retas que não têm
ponto em comum, situadas em planos diferentes, ditas “retas reversas”.
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