Disciplina: Fundamentos da Geometria Euclidiana - UFPB Virtual

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Vamos a partir de agora, apresentar alguns resultados extremamente ligados ao 5° postulado da Geometria euclidiana. Teorema 1: Se uma reta r é paralela às retas s e t, então s e t são paralelas ou coincidentes. Demonstração Suponhamos que s e t não coincidem, mas são paralelas a r. Caso s e t não fossem paralelas entre si, existiria um ponto P de interseção delas duas. Então s e t seriam paralelas a r ,distintas, e passando por P. Isto contradiz o 5° postulado. Como a suposição de que s e t não são paralelas nos leva a um absurdo, concluímos que, caso s e t não coincidam, elas são paralelas. Isto conclui a demonstração do teorema. Teorema 2: Se uma reta t intercepta uma reta s, paralela a uma outra reta r, então a reta t também intercepta a reta r. Demonstração Suponha que t interceptasse s em P, mas não interceptasse r; nesse caso, como por hipótese r é paralela a s, teríamos pelo ponto P, fora de r, duas retas paralelas a r. Isto contradiz o 5° postulado. Portanto, caso t intercepte uma reta s, também interceptará qualquer outra reta r, paralela a s. Isto conclui a demonstração. Observação A definição de retas paralelas, a partir da existência de um ponto, na interseção dessas retas, é aparentemente simples, porém na prática é muito difícil de trabalhar com ela. Com o intuito de facilitar esse trabalho, vamos utilizar ângulos determinados por uma reta, que intercepta outras duas, conforme ilustra a figura abaixo. A reta t é denominada transversal e os oito ângulos determinados, por essas três retas, cujas medidas, em uma mesma unidade, estão representados por letras gregas, recebem as denominações apresentadas a seguir: • DBˆ E, GEˆ B, CBˆ E e FEˆ B são ângulos internos (estão entre r e s) • DBˆ A, GEˆ H, CBˆ A e FEˆ H são ângulos externos (não estão entre r e s) • DBˆ A, DBˆ E, GEˆ B e GEˆ H são ângulos colaterais (estão à esquerda de t) • DBˆ A e GEˆ B, DBˆ E e GEˆ H são pares de ângulos correspondentes • ABˆ C, CBˆ E, FEˆ B e FEˆ H são ângulos colaterais (estão à direita de t) • ABˆ C e FEˆ B, CBˆ E e FEˆ H são pares de ângulos correspondentes • CBˆ E e GEˆ B, DBˆ E e FEˆ B são ângulos alternos internos 158
Teorema 3: • CBˆ E e FEˆ B, DBˆ E e GEˆ B são ângulos colaterais internos • CBˆ A e GEˆ H, DBˆ A e FEˆ H são ângulos alternos externos • CBˆ A e FEˆ H, DBˆ A e GEˆ H são ângulos colaterais externos Se uma transversal t intercepta duas outras retas r e s, determinando um par de ângulos correspondentes congruentes, então r e s são paralelas. Demonstração Sejam t, r e s, como ilustrados na figura ao lado, onde α = α' . Escolhemos, sem perda de generalidades, α e α ' como medidas dos ângulos correspondentes. Gostaríamos de mostrar que r e s não têm ponto comum, ou seja, são paralelas. Por isso, vamos supor que exista um ponto P, comum a r e s. Nesse caso, teremos necessariamente um triângulo ABP, onde o ponto P poderá estar à direita ou à esquerda da reta t. Caso esteja à esquerda, teremos um ângulo interno de ABP, com medida α , e um ângulo externo de ABP, com medida α ' , o qual não é adjacente a α . Então, pelo teorema do ângulo externo, isto nos leva a α ' > α . Isto é absurdo pois, por hipótese, α = α' . Este absurdo provém de supormos a existência do ponto P, como descrito acima. Concluímos então que o tal ponto P não existe e portanto r e s são paralelas. Caso o ponto P, estivesse do lado direito, com um raciocínio análogo, chegaríamos à mesma conclusão (ver figura abaixo). Isto conclui a demonstração. Note que estamos usando as representações originais, das medidas dos oito ângulos, determinados pelas três retas r, s e t. Nesse sentido, poderíamos substituir, no teorema 3, a hipótese α = α ' por θ + α' = 180° . Como θ + α = 180° , teríamos θ + α' = θ + α , portanto α = α' ; Reciprocamente, o leitor também pode verificar facilmente que α = α' nos leva a θ + α' = 180° . Isto nos garante que o teorema 4 abaixo, é equivalente ao teorema 3. Teorema 4: Se uma transversal t intercepta duas retas r e s, determinando um par de ângulos colaterais suplementares, então r e s são paralelas. Vamos agora mostrar, com a utilização do 5° postulado, que a recíproca do Teorema 3 é verdadeira. 159
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