Disciplina: Fundamentos da Geometria Euclidiana - UFPB Virtual

Demonstração
Sejam r e s duas retas que se interceptam em um
único ponto V. Considere o par de ângulos AVB ˆ e CVD ˆ
opostos pelo vértice, conforme ilustrado na figura 8:
Gostaríamos de mostrar que α = θ . Para isso, note que
AVB ˆ e AVC ˆ bem como CVD ˆ e AVC ˆ são suplementares. Portanto α + β = 180°
e θ + β = 180°
,
donde se segue que α + β = θ + β e portanto α = θ .
Observação: Caso tivéssemos escolhido o outro par de ângulos opostos pelo vértice, AVC ˆ e BVD ˆ , teríamos
mostrado, de modo inteiramente análogo, que os mesmos têm a mesma medida.
Teorema 2:
Por qualquer ponto P de uma reta r, existe uma única reta s, perpendicular a r.
Demonstração
1° Parte: Existência
Dados a reta r e um ponto P sobre ela, as duas semiretas
determinadas por P, em r, formam um ângulo raso.
Considere agora um dos semiplanos determinados por r, nesse
semiplano, podemos postular que existirá uma semi-reta,
dentre todas que tem origem em P, a qual será perpendicular à
reta r. O prolongamento da semi-reta SPQ nos dá a reta s
perpendicular a r, pelo ponto P, conforme ilustra a figura 9:
2° Parte: Unicidade
Para obtermos a unicidade, vamos supor que existam
duas retas t e s, passando por P e ambas perpendiculares a r.
Em um dos semiplanos determinados por r, obtemos três
ângulos, cujas medidas são β, α e θ , conforme ilustrado na
figura 10:
Por um lado, em virtude dos três ângulos, no semiplano I,
somarem um ângulo raso, obtemos que α + β + θ = 180°
. Como s e t são perpendiculares a reta r, seguese
que β = θ = 90°
e portanto, da igualdade anterior, decorre que α + 90°
+ 90°
= 180°
e assim α = 0°
.
Isto significa que as retas s e t são coincidentes, ficando assim provado a unicidade.
Observação:
Na demonstração da unicidade, foi utilizado o princípio de redução ao absurdo!!! Pois, no início, fizemos a
suposição de que existisse mais de uma. Ao final chegamos que as retas s e t, supostamente distintas, coincidem.
Definição 6: Poligonal
Dados n segmentos de reta A0 A1, A1 A2,, A2 A3, ... ,An – 2 An – 1 e An – 1 An , n ≥ 2, onde a partir do segmento A1
A2, a extremidade final do anterior coincide com a extremidade inicial do seguinte. A figura formada por
esses segmentos assim dispostos, é denominada poligonal. As extremidades e os segmentos são
denominados, respectivamente, vértices e lados da poligonal.
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