Disciplina: Fundamentos da Geometria Euclidiana - UFPB Virtual

Teorema 5:
Em qualquer triângulo, a lados não congruentes opõem-se ângulos não congruentes. E o menor ângulo opõese
ao menor lado.
Demonstração
Como já mostramos, nos teoremas 2 e 3, da Unidade III, que
“dois lados de um triângulo são congruentes, se e só se, os ângulos
que se opõem a esses lados também são congruentes”. É claro que
decorre dai que “lados não congruentes de um triângulo opõem-se a
ângulos não congruentes”. Resta-nos agora mostrar que “o menor
ângulo opõe-se ao menor lado”. Para isso, seja ABC, um triângulo qualquer, onde AC < BC , ou seja, a
medida do segmento AC é menor do que a medida do segmento BC. Gostaríamos de mostrar que
ABˆ
C < CAˆ
B , ou seja, a medida do ângulo ABC ˆ é menor do que a medida do ângulo CAB ˆ . Ver ilustração
na figura ao lado.
Como, por hipótese, AC < BC , podemos marcar um ponto D, entre B e C, de modo que CD = AC .
Consequentemente a semi-reta SAD divide o ângulo CÂB (ver figura). Dai, decorre que CÂB > CÂD = CDA ˆ ,
esta igualdade em virtude do triângulo CAD ser isósceles de base AD. Agora, como CDA ˆ é ângulo externo
do triângulo ABD (ver figura), segue-se que CDˆ
A>
ABˆ
C . Como já mostramos anteriormente que CÂB >
CDA ˆ , obtemos que CAˆ
B > CDˆ
A>
ABˆ
C , donde finalmente concluímos que ABˆ
C < CAˆ
B . Isto conclui a
demonstração.
Observação: Note que o teorema 5 pode ser reescrito na forma:
Teorema 6:
Em qualquer triângulo, a ângulos não congruentes, opõem-se lados não congruentes. E o menor lado opõe-se
ao menor ângulo.
Vamos agora apresentar alguns resultados, com o objetivo de resolvermos o seguinte problema sobre
“construtibilidade de triângulos.”
Problema:
Dados três segmentos de reta AB, BC e CD, cujas medidas, em uma mesma unidade de comprimento,
sejam representadas por AB = c,
BC = a e CA = b . Suponhamos que c ≤ b ≤ a . Mostre que só é possível
construir um triângulo, tendo os segmentos AB, BC e CD como lados se e só se a < b + c.
A resolução desse problema vai nos mostrar que, uma vez construído um triângulo qualquer, a medida de
cada lado é menor do que a soma das medidas dos outros dois lados. Para isso vamos demonstrar os
teoremas abaixo.
Teorema 7:
Em qualquer triângulo, a medida de qualquer lado sempre é menor do que a soma das medidas dos outros
dois.
Demonstração
Sejam ABC um triângulo qualquer e AC um de seus lados. Gostaríamos
de mostrar que AC < AB + BC . Para isso, marque um ponto D na semireta
SAB, tal que AD = AB + BC ; consequentemente BC = BD . Portanto
o triângulo CBD é isósceles de base CD, conforme ilustra figura ao lado.
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