Disciplina: Fundamentos da Geometria Euclidiana - UFPB Virtual

Teorema 11:
Ampliando o seu conhecimento...
Se um polígono é regular, então ele pode ser inscrito em uma circunferência, ou seja, é inscritível.
Demonstração
Para o caso de figuras geométricas tridimensionais, o conceito de polígono é generalizado
para poliedros. Nesse caso, poderíamos ser levados a pensar que o conceito de “poliedro
regular” também nos levasse a uma infinidade de possibilidades, no entanto, só a título de
curiosidade, salientamos aqui que só existem cinco poliedros regulares, cujos nomes são:
tetraedro, hexaedro (ou cubo), octaedro, dodecaedro e icosaedro, respectivamente, com 4, 6, 8,
12, e 20 faces, os quais estão ilustrados na figura abaixo.
O estudo dos poliedros constitui um belíssimo capítulo da Geometria Euclidiana em três
dimensões. Eles são muito admirados e estudados fora da matemática, inclusive são
conhecidos como sólidos de Platão. Os quatro elementos primitivos fogo, terra, água e ar são
representados, respectivamente, pelo tetraedro, cubo, icosaedro e octaedro. Já o dodecaedro
representa o Universo. Isso denota um certo lado filosófico e místico da Geometria.
Sejam P1, P2, P3, ... , Pn ( n ≥ 3 ) os vértices de um polígono regular com n lados. Gostaríamos de mostrar
que existe uma circunferência que passa por todos os vértices do polígono. Para isso, consideremos
primeiramente os vértices P1, P2 e P3. Já mostramos que existe uma circunferência, cujo centro é o ponto de
encontro das mediatrizes, dos lados do triângulo P1 P2 P3, a qual passa por P1, P2 e P3. Seja O esse centro. A
idéia agora é mostrar que P4 também pertence a essa circunferência. Para isso, vamos comparar os triângulos
OA2A3 e OA3A4. Como OA2 = OA3 (ambos são iguais ao raio da circunferência), o triângulo OA2A3 é isósceles
cuja base é o lado A2A3, do polígono regular.
Com o mesmo argumento, concluímos que o triângulo OA1A2 é isósceles,
cuja base é o lado A1A2, do polígono regular. Esses dois triângulos, OA1A2 e
OA2A3, são congruentes, em virtude do caso LLL, de congruência de triângulos.
Com relação ao triângulo OA3A4, temos que A3A4 = A2A3 (ambos são lados do
polígono regular), OA3 = OA3 (lado comum). Além disso, temos que
O Aˆ
3A2
= OAˆ
3A4
, pois A 1Aˆ
2A3
= A ˆ
2A3
A4
(ambos são ângulos internos de
um polígono regular) e O Aˆ
2A1
= OAˆ
ˆ
2A3
= OA3A2
. Como consequência
disso, segue-se pelo caso LAL, de congruência de triângulos, que OA 2A3
= OA3
A4
. Portanto, obtemos, em
particular, que OA 3 = OA4
. Isto equivale dizer que A4 também é um ponto da circunferência de centro O e
raio r = OA1
, conforme ilustra a figura a cima.
Com um raciocínio análogo, concluímos que A5 também é um ponto da circunferência. Como a
quantidade de vértices é finita, repetindo o mesmo raciocínio um número finito de vezes, obtemos, por
exaustão, que A1, A2, ... An são pontos da circunferência de centro O. Isto conclui a demonstração.
187