Algoritmo das Projeções Sucessivas Para Seleção de ... - PPGQ

Capítulo II. Fundamentação Teórica
Em termos matemáticos, A PCA realiza uma decomposição de uma matriz
de dados originais ou pré-processados, X (m × n), em dois conjuntos: escores (t) e
pesos (l) que representam, respectivamente, as coordenadas das amostras e a
contribuição de cada variável ao longo da PC. Os valores dos pesos, que podem
variar entre -1 a 1, correspondem ao co-seno do ângulo entre a PC e os eixos das
variáveis originais. Quanto maior for este valor em módulo, maior importância terá a
variável na PC [5] .
O algoritmo NIPALS é o adotado pelo programa Unscrambler [80] para realizar
o cálculo da PCA. Para isso, considera-se uma matriz pré-processada X de
dimensões (N × J), de modo que a j - ésima variável x j esteja associada ao j - ésimo
vetor coluna (x j , j = 1,....,J). O vetor x j que apresentar a maior norma é utilizado
como uma estimativa inicial para t 1 , que são os escores da PC1. Em seguida,
projeta-se X sobre t 1 para estimar o vetor dos pesos (l 1 ) para a PC1. Repete-se este
procedimento até a convergência. De modo a facilitar a compreensão do algoritmo
NIPALS [81] , uma seqüência utilizada para o cálculo das PCs é apresentada abaixo:
1. Escolhe-se um vetor x j de maior norma como estimativa inicial para t 1 .
t
1
= x j
(2.3)
2. Projeta-se X sobre t 1 para estimar os pesos (l 1 ) para a PC1
I
t
⎡(
t X ⎤
1.
)
= ⎢ t
t t
⎥
⎣(
1.
1)
⎦
t
1
(2.4)
3. Normaliza-se o vetor l 1 para comprimento 1.
I
1
I
1
= (2.5)
t
( I1.
I1)
4. Projeta-se X sobre l 1 para obter uma nova estimativa de t 1 (vetor de escores para
PC1).
t
1
= X.I 1
(2.6)
5. Estima-se o autovalor (a 1 )
1
t t 1.
t1
a = (2.7)
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