Revista (format .pdf, 2.3 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

· · · + a s+t−1 − a s+t , q + a s+1 + · · · + a s+t−1 ]. Datorită ipotezei ii), acest interval esteinclus în [p, q+a s+1 +· · ·+a s+t−1 ], prin urmare, datorită ipotezei de inducţie, x−a s+teste suma unor termeni ai lui (a n ) cu indici egali cel mult cu s + t − 1, ceea ce încheiedemonstraţia.Acum putem demonstra cvasicompletitudinea şirului pătratelor perfecte.Exerciţiul 4. Fie a n = n 2 pentru orice n ≥ 1. Arătaţi că (a n ) îndeplineştecondiţiile Teoremei 3 cu s = 10, p = 129 şi q = 256 şi deduceţi astfel că (a n ) estecvasicomplet - mai precis că orice m ∈ [129, 256 + 11 2 + · · · + (10 + t) 2 ] este suma unorpătrate perfecte distincte şi cel mult egale cu (10 + t) 2 , pentru orice t ≥ 1.4. Din nou despre proprietatea Erdős-Surányi. În fine, putem enunţaurmătoarea teoremă mai generală decât Propoziţia 2, care oferă condiţii suficientepentru ca un şir să aibă proprietatea Erdős-Surányi.Propoziţia 4. Fie (a n ) un şir de numere întregi pozitive care îndeplineşte condiţiilei) şi ii) din Propoziţia 3, precum şiiii) (a 1 + · · · + a s )/2 ≤ q,iv) şirul are o infinitate de termeni impari.Atunci acest şir are proprietatea Erdős-Suranyi.(Cititorul poate formula, desigur, un analog al punctului b) din Propoziţia 2.)Demonstraţie. Se vede imediat că ipoteza iii) implicăa 1 + · · · + a k2≤ q + a s+1 + · · · + a kpentru orice k ≥ s.Fie m un număr natural oarecare. Pentru o infinitate de numere k (suficient demari) a 1 + · · · + a k are aceeaşi paritate ca şi m (datorită ipotezei iv)) şi, de asemenea,avema 1 + · · · + a k − m≥ p2Atunci (a 1 +· · ·+a k −m)/2 este un întreg pozitiv cel puţin egal cu p şi mai mic decâta 1 + · · · + a k≤ q + a s+1 + · · · + a k ; conform Propoziţiei 3, acest număr este suma2unor termeni ai şirului (a n ) care au indici ce nu depăşesc pe k:a 1 + · · · + a k − m2= u 1 a 1 + · · · + u k a k ,pentru anumite numere u 1 , . . . , u k ∈ {0, 1}. De aici obţinem reprezentaream = (1 − 2u 1 )a 1 + · · · + (1 − 2u k )a k ,în care, desigur, 1 − 2u 1 , . . . , 1 − 2u k ∈ {−1, 1}. Asemenea reprezentare se poate găsipentru o infinitate de k şi demonstraţia este încheiată.Acum se poate dovedi şi pe această cale că şirul pătratelor perfecte are proprietateaErdős-Suranyi.9