Revista (format .pdf, 2.3 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

More documents

Recommendations

Info

În cazul unui triunghi dreptunghic condiţia de existenţă este:(∗) P ≥ 2(1 + √ 2) · √A⇔ P 2 ≥ 4(3 + 2 √ 2) · A ⇔ A ≤ 3 − 2√ 2P 2 .4Deci,Într-adevăr, ca mai sus, avem:P 2A ≥ 4(3 + 2√ 2) ∼ 23, 314.P − c = a + b ⇔ P 2 − 2P c + c 2 = a 2 + 2ab + b 2 a 2 +b 2 =c=2ab=2A c2 + 4A ⇔ P 2 − 4A = 2P c.Rezultă că c = P 2 − 4A. Din2PApoi,a + b = P − c = P − P 2 − 4A2P= P 2 + 4A2P⇒ b = P 2 + 4A2P− a.ab = 2A ⇒ aP 2 + 4A2PDar, ultima ecuaţie are soluţii reale dacă− a=2A ⇒ P a22 −P 24 + Aa + AP = 0.∆ a ≥ 0 ⇔P 2A24 + − 4 P 2AP ≥ 0 ⇔P− 6P2 4A22≥ 0.4A+1Rezolvând ultima inecuaţie, obţinem:echivalente cuP 2 ≥ 4A(3 + 2 √ 2) sau P 2 ≤ 4A(3 − 2 √ 2),P ≥ 2(1 + √ 2) √ A sau P ≤ 2( √ 2 − 1) √ A.Aceste ultime condiţii trebuiesc corelate şi cu condiţia P > 2 √ A, de existenţă aipotenuzei. Obţinem că triunghiul dreptunghic de arie A şi perimetru P există dacăşi numai dacă avem:P ≥ 2(1 + √ 2) √ A ⇔ A ≤ P 2 (3 − 2 √ 2)4⇔ A P 2 ≤ 3 − 2√ 24⇔ P 2A ≥ 4(3 + 2√ 2).În relaţiile de mai sus avem egalitate dacă şi numai dacă triunghiul este dreptunghicisoscel.Remarca 1. În 1904, Whitworth şi Biddle au arătat că există numai cincitriunghiuri Heron cu proprietatea A = P, şi anume, triunghiurile Heron cu laturile(6, 8, 10), (5, 12, 13), (6, 25, 29), (7, 15, 20) şi (9, 10, 17) ([1]).18
Remarca 2. Deşi Goehl, în [2], prezintă un algoritm general pentru determinareatuturor triunghiurilor dreptunghice de tip Heron cu proprietatea că A =mP (m ∈ N), problema este rezolvă în cazul general (pentru triunghiurile Heron oarecare)abia peste mai mult de 20 de ani de către Lubomir Markov ([4]), care, dupăpuţin timp revine chiar cu o metodă nouă ([5]). O metodă diferită pentru rezolvareaproblemei A = mP , pentru triunghiurile Heron oarecare este prezentată de cătreJizhou Li în [6].Bibliografie1. L. Dickson – History of the Theory of Numbers, Vol. II, Chelsea Publish-ing Co,NY, 1992 (reprint from 1923 edition).2. J. Goehl – Area=k(perimeter), Math. Teach. 79(1985), 330-332.3. John F. Goehl, Jr. – Pythagorean Triangles with Square of Perimeter Equal to anInteger Multiple of Area, Forum Geometricorum, Vol. 9 (2009), 281-282.4. L. Markov – Pythagorean triples and the problem A = mP for triangles, Math.Mag. 79 (2006), 114-121.5. L. Markov – Heronian Triangles Whose Areas are Integer Multiple of their Perimeters,Forum Geometricorum, (2007), 129-135.6. http://www.mathlab.mtu.edu/∼jizhoul/Site/Home Page files/Goehl ′ s%20Problem.pdf7. K.R.S. Sastry – Heron Problems, Math. And Comput. Ed., 29(1995), 192-202.8. K.R.S. Sastry – Heron Triangles: A New Perspective, Aust. Math. Soc. Gazette,26 (1999), 160-168.9. K.R.S. Sastry – Heron Triangles, Math. And Comput. Ed., 35 (2001), 51-60.10. K.R.S. Sastry – A Heron Difference, Crux mathematicorum with MathematicalMayhem, 27(2001), 22-26.11. K.R.S. Sastry – If (a, b, c) is Heron, can (s − a, s − b, s − c) also be Heron?, CruxMathematicorum with Mathematical Mayhem, 28 (2002), 23-27.12. Problema E:14152, Gazeta Matematică - seria B, nr. 3/2011, 154.13. Problema VIII.293, Revista de Matematică din Timişoara, nr. 4/2010, 17.14. Problema S:E11.170, Gazeta Matematică - Supliment cu exerciţii, Gazeta Matematică- seria B, nr. 5/2011, 7.15. Problema S:E11.163, Gazeta Matematică - Supliment cu exerciţii, Gazeta Matematică- seria B, nr. 5/2011, 7.16. T. Zvonaru – Triunghiuri de arie şi perimetru date; în Articole şi note matematice,Vol. IV, Societatea de Ştiinţe Matematice din România - Filiala Râmnicu Sărat,Editura Rafet, 2011, 120-129.19
Page 1 and 2: Anul XIV, Nr. 1Ianuarie - Iunie 201
Page 3: Anul XIV, Nr. 1 Ianuarie - Iunie 20
Page 6 and 7: dar s-a mirat că memoriul său n-a
Page 8 and 9: domenii noi şi actuale, prof. Adol
Page 10 and 11: Exerciţiul 1. Fie b ≥ 2 un numă
Page 13 and 14: · · · + a s+t−1 − a s+t , q
Page 15 and 16: Aplicaţii ale numerelor complexeî
Page 17 and 18: ne-am folosit şi de inegalitatea c
Page 19 and 20: Teorema 3. Fie ρ ∈ [0, ∞]. Atu
Page 21: Problema 8. Confirmaţi sau infirma
Page 25 and 26: Lema 2. În triunghiul OHI are loc
Page 27 and 28: Se ştie că punctul I aparţine dr
Page 29 and 30: Asupra unei probleme de extremRadu
Page 31 and 32: Une classe spéciale de matrices ca
Page 33 and 34: 4. Un exemple de B-matrice de M 4 (
Page 35 and 36: toutes ses valeurs propres sont nul
Page 37 and 38: Clasa a IX-a1. Să se determine cel
Page 39 and 40: corespunzătoare. În acest caz, pu
Page 41 and 42: Vom exprima această condiţie în
Page 43 and 44: Pentru x = π 2 ∈ (−π, π), av
Page 45 and 46: Colegiul Naţional ,,Mihai Eminescu
Page 47 and 48: condus şcoala până în septembri
Page 49 and 50: Concursul ,,Recreaţii Matematice
Page 51 and 52: Concursul interjudeţean ,,Speranţ
Page 53 and 54: Soluţiile problemelor propuse în
Page 55 and 56: Soluţia 2 (Cătălin Gulin, elev,
Page 57 and 58: faţă de C şi mediana din B taie
Page 59 and 60: Soluţie. Folosind faptul că patru
Page 61 and 62: IX.122. Fie a, b, c ∈ R cu b ≥
Page 63 and 64: astfel încât u 2 = z 2 + 4 . Cum
Page 65 and 66: p ∈ N ∩ G, atunci p ∈ H, prin
Page 67 and 68: (6, 1, 2). Analog, când c = 1 vom
Page 69 and 70: Soluţie. Fie P un semiplan limitat
Page 71 and 72: Soluţia 1. Raportăm planul la un
Page 73 and 74:
a) Fie n ∈ N ∗ care verifică {
Page 75 and 76:
P.234. Aflaţi numerele naturale a
Page 77 and 78:
VII.147. Trapezul dreptunghic ABCD
Page 79 and 80:
XI.127. Fie (x n ) n∈N ∗ un şi
Page 81 and 82:
a) RQ ⊥ AD şi RQ = AD;b) RE = F
Page 83 and 84:
|{z}n timeG220. Determine the digit
Page 85 and 86:
Pagina rezolvitorilorCRAIOVAColegiu
Page 87 and 88:
RecenzieD. Brânzei şi Al. Negresc
Page 89 and 90:
Revista semestrială RECREAŢII MAT
show all

Revista (format .pdf, 2.3 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?