Revista (format .pdf, 2.3 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

IX.127. Fie ABC un triunghi cu AB ≠ AC, I centrul cercului înscris, G centrulde greutate, {D} = AI ∩ BC şi {T } = IG ∩ BC. Demonstraţi că GD∥AT dacă şinumai dacă 3a = b + c. (A se vedea şi articolul din RecMat–2/2011, pag. 132-133.)Titu Zvonaru, ComăneştiIX.128. Fie n ∈ N ∗ şi x 1 , x 2 , . . . , x n numere reale pozitive cu suma egală cu n.Demonstraţi că nPi=1 x 2 i (x i + n) ≥ n 2 + n.Ion Nedelcu, Ploieşti şi Lucian Tuţescu, CraiovaIX.129. Fie a, b, c numere reale pozitive cu a ≤ b ≤ 24000 şi √ a + 2012 +√ √ a + bb + 2012 = 2 c + 2012. Determinaţi partea întreagă a numărului .cIonel Tudor, Călugăreni (Giurgiu)IX.130. Rezolvaţi în numere naturale ecuaţia 2 a + 1 = 3b 2 .Adrian Zanoschi, IaşiClasa a X-aX.126. Fie a, b, c ∈ R astfel încât ab + bc + ca ≥ 0. Demonstraţi că |a + bi| +|b + ci| + |c + ai| ≥È6(ab + bc + ca).Ovidiu Pop, Satu MareX.127. Dacă a, b, c ∈ (1, ∞), demonstraţi că are loc inegalitateaa(log a b )2log a ab + (log a a c )2log a ac + (log a bc) 2≥ 1.alog 2a bcD.M. Bătineţu-Giurgiu, BucureştiX.128. În raport cu reperul cartezian xOy se consideră punctul A(a, b), 0 < a < b.a) Arătaţi că există o infinitate de puncte B, cu ambele coordonate strict pozitive,pentru care min M∈Oy (MA + MB) = min N∈Ox (NA + NB).b) Expuneţi un procedeu de obţinere a punctelor B folosind doar rigla şi compasul.Cecilia Deaconescu, PiteştiX.129. Fie z 1 , z 2 , z 3 numere complexe distincte de modul 1. Arătaţi că(z 1 + z 2 ) 4 z 2 3 + (z 2 + z 3 ) 4 z 2 1 + (z 3 + z 1 ) 4 z 2 2 ≥ 3z 2 1z 2 2z 2 3.Florin Stănescu, GăeştiX.130. Fie α ∈ R\{kπ|k ∈ Z}; arătaţi că ecuaţia x 4 + 4x 3 + (4 − 4 sin α −2 sin 2 α)x 2 − (8 sin α + 4 sin 2 α)x + (4 sin 2 α + 4 sin 3 α + sin 4 α) = 0 are toate soluţiilereale.Ionel Tudor, Călugăreni (Giurgiu)Clasa a XI-aXI.126. Fie A ∈ M n (R) o matrice cu proprietatea că A 4 + (A + I n ) 4 = O n .Demonstraţi că matricea A 2 + A + I n este inversabilă.Dan Nedeianu, Drobeta Tr. Severin74