Revista (format .pdf, 2.3 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

VIII.141. Dacă a, b, c, x, y, z > 0 şi ax + by + cz = 1, demonstraţi că ayz + bxz +cxy ≥ 27abc.D.M. Bătineţu-Giurgiu, BucureştiSoluţie. Eliminând numitorii, inegalitatea de demonstrat revine la ax+by +cz ≥27abcxyz, adică la 1 ≥ 27abcxyz. Însă (ax + by + cz)3 ≥ 27 · ax · by · cz (inegalitateamediilor) şi de aici rezultă ceea ce dorim. Egalitatea se atinge pentru x = 13a , y = 1 3b ,z = 1 3c .VIII.142. Fie a, b, c, d ∈ R şi E(x, y) =pa 2 x 2 + b 2 y 2 , F (x, y) =pc 2 x 2 + d 2 y 2 ,∀x, y ∈ R. Dacă |ad| = |bc|, demonstraţi că(∗)ÈE(x, z) · F (x, z) ≤ÈE(x, y) · F (x, y) +ÈE(y, z) · F (y, z), ∀x, y, z ∈ R.Valentina Blendea şi Gheorghe Blendea, IaşiSoluţie. Dacă b = 0, atunci E(x, y) = |ax|, ∀x, y ∈ R. Din |ad| = |bc|, obţinemcă a = 0 sau d = 0. În primul caz, (*) devine 0 ≤ 0, iar în al doilea, (∗) ⇔È|ax| · |cx| ≤È|ax| · |cx| +È|ay| · |cy|, adevărat. Analog se tratează cazul în carec = 0.Dacă bc ≠ 0, atunci ad ≠ 0 şi putem scrie căaObservămcă E(x, y) = |b| ·pk 2 x 2 + y 2 , F (x, y) = |d| ·pk 2 x 2 + y 2 , deci (*) revineb=cd=k>0.la √ k 2 x 2 + z 2 ≤pk 2 x 2 + y 2 +pk 2 y 2 + z 2 ; o simplă ridicare la pătrat arată căaceastă ultimă inegalitate este adevărată.a 2011VIII.143. Dacăa 2 + b 2 = b2011b 2 + c 2 = c2011c 2 , demonstraţi că numerele reale+ a2 pozitive a, b şi c sunt egale.Cristina Ene, elevă, CraiovaSoluţie. Dacă presupunem că a < b, atunci 2a 2011 < a 2011 + a 2009 · b 2 , de undea 2011a 2 + b 2c 2011< a20092 . Deducem că b 2011b 2 + c 2< a20092< b2009, deci b < c. Obţinem că2c 2 + a 2 < c2009, prin urmare c < a şi ajungem la contradicţia a < b < c < a. Analog2se arată că nu putem avea a > b şi rămâne că a = b, apoi a = b = c.Clasa a IX-a+ sinIX.121. Arătaţi că1 4 x + cos 4 x1 + sin 4 =y + cos y21 + sin8 x + cos 8 x4 1 + sin 8 , ∀x, y ∈ R.y + cos 8 yMihály Bencze, BraşovSoluţie. Folosind identitatea (a 4 + b 4 + (a 2 + b 2 ) 2 ) 2 = 2(a 8 + b 8 + (a 2 + b 2 ) 4 ),∀a, b ∈ R şi scriindu-l pe 1 ca (sin 2 + cos 2 x) 2 în stânga respectiv (sin 2 x + cos 2 x) 4 îndreapta, obţinem ceea ce dorim.56