ABBM = p − c + p − b = a, deciBM = AE , adică BE∥SC. Cum BE ⊥ BS, deducemECcă BS ⊥ SC. Analog se arată că BT ⊥ T C.Observăm că m(ÕSBT ) = m(ÕSBC)−m(ÕT BC) = 90 ◦ − 1 2 m(ÒB)−(90 ◦ −m(ÕT CB)) =90 ◦ − 1 2 m(ÒB) − 1 2 m(ÒC) = 1 2 m(bA). Punctele S şi T sunt situate pe cercul de diametruBC; cu teorema sinusurilor, deducem că ST = a sin A . Atunci P Q ≤ ST + BC ⇔2(a + b + c) sin A 2 ≤ a sin A 2 + a ⇔ sin A 2 ≤ a , adevărat (inegalitatea lui Ballieu).b + cNotă. Soluţie corectă a dat dl Ioan Viorel Codreanu.sin 3 xL211. Arătaţi că(1 + sin 2 x) + cos 3 x2 (1 + cos 2 x) 2 ≤ 3√ 3, ∀x ∈ R.16Mihàly Bencze, BraşovSoluţie. Pentru t ∈ R, (1 + t 2 ) 2 − 16√ 3t = 1 9 9 (√ 3t − 1) 2 (3t 2 + 2 √ 3t + 9) ≥ 0.tRezultă că(1 + t 2 ) 2 ≤ 3√ 316 , prin urmare t 3(1 + t 2 ) 2 ≤ 3√ 3sin 3+P ≤P x16 ·t2 . Astfel,(1 + sin 2 x) + 2cos 3 x(1 + cos 2 x) 2 ≤ 3√ 3 sin 2 x+ 3√ 3 cos 2 x= 3√ 316 16 16 .L212. Demonstraţi că 3 ab(ab + c 2 ) 22 a 2 + b 2 (a 2 + c 2 )(b 2 + c 2 (sumele fiind)ciclice) pentru orice numere reale a, b, c printre care nu se găsesc două egale cu 0.Marian Tetiva, BârladSoluţie. Are loc identitateaP(a 2 − c 2 )(b 2 − c 2 )(a − b) 2 = (a − b) 2 (a − c) 2 (b − c) 2 .Atunci inegalitatea 0 ≤ (a − b) 2 (a − c) 2 (b − c) 2 se transcrie succesiv0≤X(a 2 + c 2 )(b 2 + c 2 )(a − b) 2 −2Xc 2 (a 2 + b 2 )(a − b) 2 ⇔2Xc 2 (a 2 + b 2 )(a − b) 2 ≤≤X(a 2 + c 2 )(b 2 + c 2 )(a − b) 2 ⇔ 2X(a 2 + b 2 )((a 2 + c 2 )(b 2 + c 2 ) − (ab + c 2 ) 2 ) ≤≤X(a 2 + c 2 )(b 2 + c 2 )(a 2 + b 2 − 2ab) ⇔ 3(a 2 + b 2 )(a 2 + c 2 )(b 2 + c 2 )++ 2Xab(a 2 + c 2 )(b 2 + c 2 ) ≤X(a 2 + b 2 )(ab + c 2 ) 2 ,de unde inegalitatea din enunţ se obţine prin împărţire cu 2(a 2 +b 2 )(a 2 +c 2 )(b 2 +c 2 ) >0. Egalitatea are loc dacă şi numai dacă (a − b) 2 (a − c) 2 (b − c) 2 = 0, adică a = b saua = c sau b = c.L213. Fie m 1 , . . . , m k numere naturale nenule şi α un număr iraţional.a) Arătaţi că există x 1 , . . . , x k ∈ N ∗ astfel încât [x 1α]m 1= . . . = [x kα]m k.b) Arătaţi că există y 1 , . . . , y k ∈ N ∗ astfel încât m 1 [y 1 α] = . . . = m k [y k α].Marian Tetiva, BârladSoluţie. Demonstrăm că, pentru x ∈ N ∗ şi y ∈ R cu x{y} < 1, avem că [xy] =x[y]. Într-adevăr, xy = x[y]+x{y}, cu x[y] ∈ Z şi x{y} ∈ (0, 1), conform ipotezei, decix{y} este chiar partea fracţionară a numărului xy, iar x[y] este partea sa întreagă.68
a) Fie n ∈ N ∗ care verifică {nα} < 1 m j⇔ {nα}m j < 1, ∀1 ≤ j ≤ k (există unastfel de număr, conform teoremei de densitate a lui Kronecker). Vom avea atunci că[m j nα] = m j [nα], ∀1 ≤ j ≤ k, deci pentru x j = m j · n, 1 ≤ j ≤ k, cerinţa se verifică.b) Fie M j = m 1 . . . m km j, 1 ≤ j ≤ k şi alegem N ∈ N ∗ astfel încât {Nα}
- Page 1 and 2:
Anul XIV, Nr. 1Ianuarie - Iunie 201
- Page 3:
Anul XIV, Nr. 1 Ianuarie - Iunie 20
- Page 6 and 7:
dar s-a mirat că memoriul său n-a
- Page 8 and 9:
domenii noi şi actuale, prof. Adol
- Page 10 and 11:
Exerciţiul 1. Fie b ≥ 2 un numă
- Page 13 and 14:
· · · + a s+t−1 − a s+t , q
- Page 15 and 16:
Aplicaţii ale numerelor complexeî
- Page 17 and 18:
ne-am folosit şi de inegalitatea c
- Page 19 and 20:
Teorema 3. Fie ρ ∈ [0, ∞]. Atu
- Page 21 and 22: Problema 8. Confirmaţi sau infirma
- Page 23 and 24: Remarca 2. Deşi Goehl, în [2], pr
- Page 25 and 26: Lema 2. În triunghiul OHI are loc
- Page 27 and 28: Se ştie că punctul I aparţine dr
- Page 29 and 30: Asupra unei probleme de extremRadu
- Page 31 and 32: Une classe spéciale de matrices ca
- Page 33 and 34: 4. Un exemple de B-matrice de M 4 (
- Page 35 and 36: toutes ses valeurs propres sont nul
- Page 37 and 38: Clasa a IX-a1. Să se determine cel
- Page 39 and 40: corespunzătoare. În acest caz, pu
- Page 41 and 42: Vom exprima această condiţie în
- Page 43 and 44: Pentru x = π 2 ∈ (−π, π), av
- Page 45 and 46: Colegiul Naţional ,,Mihai Eminescu
- Page 47 and 48: condus şcoala până în septembri
- Page 49 and 50: Concursul ,,Recreaţii Matematice
- Page 51 and 52: Concursul interjudeţean ,,Speranţ
- Page 53 and 54: Soluţiile problemelor propuse în
- Page 55 and 56: Soluţia 2 (Cătălin Gulin, elev,
- Page 57 and 58: faţă de C şi mediana din B taie
- Page 59 and 60: Soluţie. Folosind faptul că patru
- Page 61 and 62: IX.122. Fie a, b, c ∈ R cu b ≥
- Page 63 and 64: astfel încât u 2 = z 2 + 4 . Cum
- Page 65 and 66: p ∈ N ∩ G, atunci p ∈ H, prin
- Page 67 and 68: (6, 1, 2). Analog, când c = 1 vom
- Page 69 and 70: Soluţie. Fie P un semiplan limitat
- Page 71: Soluţia 1. Raportăm planul la un
- Page 75 and 76: P.234. Aflaţi numerele naturale a
- Page 77 and 78: VII.147. Trapezul dreptunghic ABCD
- Page 79 and 80: XI.127. Fie (x n ) n∈N ∗ un şi
- Page 81 and 82: a) RQ ⊥ AD şi RQ = AD;b) RE = F
- Page 83 and 84: |{z}n timeG220. Determine the digit
- Page 85 and 86: Pagina rezolvitorilorCRAIOVAColegiu
- Page 87 and 88: RecenzieD. Brânzei şi Al. Negresc
- Page 89 and 90: Revista semestrială RECREAŢII MAT
Change language