Revista (format .pdf, 2.3 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

au proprietatea că A 2 = B 2 = −I n , deci A 2 + B 2 = −2I n .XI.123. Fie A, B ∈ M 2 (R) astfel încât detA = 10, detB = 12, tr A = tr B = 7.Determinaţi numerele naturale n pentru care tr A n = tr B n .Răzvan Ceucă, elev, IaşiSoluţie. Cum detA = 10 şi trA = 7, valorile proprii ale matricei A sunt 2 şi 5,deci trA n = 2 n + 5 n . Analog se arată că trB n = 3 n + 4 n şi atunci condiţia din enunţrevine la 3 n − 2 n = 5 n − 4 n . Evident că n = 0 şi n = 1 sunt soluţii. Dacă n ≥ 2,aplicând teorema lui Lagrange funcţiei f(x) = x n pe intervalele [2, 3] şi [4, 5], găsimc ∈ (2, 3) şi d ∈ (4, 5) pentru care 3 n − 2 n = nc n−1 şi 5 n − 4 n = nd n−1 , iar egalitateanc n−1 = nd n−1 cu n ≥ 2, c ≠ d, nu este posibilă.XI.124. Calculaţi limn→∞É2 20 +q2 21 +È2 22 + . . . + √ 2 2n + 1.Gheorghe Iurea, IaşiSoluţie. Dacă a n este şirul din enunţ, atunci a n = 2Ê1 +r1 + . . . +É1 + 12 2n ,numărul radicalilor fiind n + 1. Considerăm şirul x n =É1 +q1 + . . . +È1 + √ 2(n + 1 radicali), care verifică relaţia de recurenţă x 0 = √ 2, x n+1 = √ 1 + x n , ∀n ∈ N.Se arată că (x n ) este convergent, cu lim x n = 1 + √ 5. Cum 2x n−1 < a n < 2x n ,n→∞ 2∀n ∈ N ∗ , rezultă că lim a n = 1 + √ 5.n→∞XI.125. Demonstraţi că ecuaţia 25 x + 4 x = 10 x + 9 x are cel puţin o soluţie realănegativă.Ionuţ Ivănescu, CraiovaSoluţie. Considerăm funcţia f : R → R, f(x) = 25 x + 4 x − 10 x − 9 x şi săpresupunem prin absurd că f(x) > 0, ∀x ∈ − 1 2 , 0‹. Deducem că 25x − 1+ 4x − 1 0 şi, cum f esteClasa a XII-aXII.121. Fie a ∈ N ∗ şi G = (a, +∞) pe care definim operaţia x ∗ y = (x − a)(y −a) + a, ∀x, y ∈ G. Dacă H este subgrup al lui G astfel încât N ∩ G ⊂ H, arătaţi căQ ∩ G ⊂ H.D.M. Bătineţu-Giurgiu, Bucureşti şi Neculai Stanciu, BuzăuSoluţie. Grupul (G, ∗) are elementul neutru e = 1 + a, iar simetricul lui x estex ′ = a + 1x − a ∈ G. Fie q ∈ Q ∩ G; atunci există m, n ∈ N∗ încât q = a + m n . Dacă60