Revista (format .pdf, 2.3 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

XI.127. Fie (x n ) n∈N ∗ un şir de numere din intervalul (0, 1) şi (F n ) n∈N ∗ şirul luiFibonacci (F 1 = F 2 = 1, F n+2 = F n+1 + F n , ∀n ∈ N ∗ ). Arătaţi căF kx k (1 − xnXk=12 k ) ≥ 3√ 32 (F n+2 − 1), ∀n ∈ N ∗ .D.M. Bătineţu-Giurgiu, Bucureştix nx n + a ,∀n ∈ N, unde a, x 0 ∈ (0, ∞) sunt date.Adrian Corduneanu, IaşiXI.128. Studiaţi convergenţa şirului (x n ) n∈N definit prin x n+1 =ÉnQx i = e n . Arătaţi că ex n ln 2 x 1 < x 1 x n < ex 1 ln 2 x n .i=1XI.129. Determinaţi cel mai mic număr real α pentru care tg x ≥ 4 sin x − α,∀x ∈h0, π (În legătură cu problema IX.109. din RecMat–1/2010.)2.Gabriel Popa, IaşiXI.130. Se consideră numerele reale 1 < x 1 < x 2 < . . . < x n < e 2 astfel încât√xi = nnPi=1√ e şi=ZMihai Haivas, IaşiClasa a XII-ax 2 − 1XII.126. Calculaţi I dx, x ∈ [1, 2].xÈ5x 2 − (x 2 − x + 1)2Constantin Dragomir, PiteştiXII.127. Calculaţi I =Z21 + x + 11/2 x‹e x− 1 x dx.Adrian Corduneanu, IaşiXII.128. Fie f : R → R o funcţie de două ori derivabilă, cu f ′′ (x) < 0, ∀x ∈[a, a + c]. Demonstraţi căZ2c0f(x)dx + 2cf(2a) ≤ 4Za+cf(x)dx.aMihai Haivas, Iaşi şi I.V. Maftei, BucureştiXII.129. Fie m, p ∈ N, cu m ≥ 2 şi p număr prim. Demonstraţi că există ungrup finit G care are p m2 elemente, în care fiecare element diferit de elementul neutruare ordinul p.Constantin Şcheau, PloieştiXII.130. Determinaţi perechile de polinoame de gradul doi, cu coeficienţii realişi unitare, ce verifică condiţia că rădăcinile unuia sunt coeficienţii celuilalt (se au învedere coeficienţii lui X şi X 0 ). Indicaţi polinoamele de acest fel care intră în perechecu ele însele.Temistocle Bîrsan, Iaşi75