Revista (format .pdf, 2.3 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

Soluţia 2 (Cătălin Gulin, elev, Craiova). Orice număr impar n = 2k + 1 sepoate scrie sub forma (k + 1) 2 − k 2 . În cazul nostru, 17689 = 88452 − 8844 2 .V.140. Determinaţi numerele de forma 5abc care, împăţite la abc5, dau câtul de595 ori mai mic decât restul.Petru Asaftei, IaşiSoluţie. Dacă q este câtul împărţirii, atunci 5abc = abc5·q +595q şi 595q < abc5.Obţinem că 5000+abc = 10q·abc+600q, de unde c = 0. Astfel, 500+ab = 10q·ab+60qşi de aici rezultă că b = 0. Deducem că 50+a = 10q ·a+6q, egalitate care se realizeazădoar când a = q = 2. În concluzie, singura soluţie a problemei este 5200.V.141. Se consideră numerele naturale a 1 , a 2 , . . . , a n astfel încât a 1 = 1 şi fiecarenumăr, începând cu al doilea, este triplul sumei tuturor numerelor dinaintea lui. Dacăa 1 + a 2 + . . . + a n = 2 20 , determinaţi n.Mirela Marin, IaşiSoluţie. Observăm că a 2 = 3, a 3 = 3 · (1 + 3) = 3 · 4, a 4 = 3(1 + 3 + 3 · 4) = 3 · 4 2 ,a 5 = 3(1 + 3 + 3 · 4 + 3 · 4 2 ) = 3 · 4 3 . În general, a n = 3 · 4 n−2 , n ≥ 2, şi atuncia 1 + a 2 + . . . + a n = 1 + 3 + 3 · 4 + 3 · 4 2 + . . . 3 · 4 n−2 = 4 n−1 . Din 4 n−1 = 2 20 obţinemcă n = 11.| {z }2011| {z }2011| {z }2011| {z }2011| {z }2011| {z }2011V.142. Arătaţi că numărul A = 11 . . . 11 22 . . . 22 + 33 . . . 33 44 . . . 44 − 11 . . . 11 0este pătrat perfect.Andrei Nedelcu, IaşiSoluţie. Dacă notăm x = 11 . . . 11 , atunci A = x · 10 2011 + 2x + 3x · 10 2011 +| {z }20114x − 10x = x(10 2011 + 2 + 3 · 10 2011 + 4 − 10) = x(4 · 10 2011 − 4) = 4x(10 2011 − 1) =4x · 99 . . . 99 = 4x · 9x = (6x) 2 , deci A este pătrat perfect.V.143. Reconstituiţi înmulţireaalăturată, ştiind că literele distinctereprezintă cifre distincte.a b c d e f ×* * * * * *f a b c d ee f a b c dd e f a b cc d e f a bb c d e f aa b c d e f* * * * * * * * * * *Cătălin Calistru, IaşiSoluţie. Fie xyzuvw al doilea factor al produsului. Avem că abcdef ·w = fabcde;cu notaţia N = abcde, obţinem că (10N + f) · w = 100000f + N. Evident că f ≠ 0şi e ≠ 0 (apar ca primă cifră) şi atunci w ≠ 0. Luând, pe rând, w ∈ {1, 2, . . . , 9},găsim unica variantă convenabilă w = 5, f = 7, N = 14285, aşadar abcdef = 142857.Înlocuim şi deducem că produsul este egal cu 18949266765, iar factorul al doilea seobţine prin împărţire, fiind 132645.51